Demuestre que si $ A \in \mathbb C^{n\times n}$ entonces $x_{kk}=\frac{\det B_{k+1,n}}{\det B_{kn}} \quad and \quad x_{nn} = 1/a_{nn},$

Question

Demuestre que si $ A \in \mathbb C^{n\times n}$ entonces

$$ \begin{bmatrix} a_{kk} & \cdots &a_{kn} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{nk}& \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{kk} \\ \vdots \\ x_{nk} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix} \quad \text{ for } \quad k=1,...,n \quad (1)$$

entonces $x_{kk}=\frac{\det B_{k+1,n}}{\det B_{kn}} \quad \text{ for } \quad k=1,...,n-1 \quad \text{ and }\quad x_{nn} = 1/a_{nn},$

Donde $B_{kn}$ denota la inversa de la matriz que se muestra en $(1)$ .

Nota: He resuelto los dos ejercicios anteriores que deberían ayudarme en este, y aún me cuesta mostrar $(1)$ y que las variables posteriores $x_{kk},x_{nn}$ los valores son los mencionados.

Los dos ejercicios anteriores son los siguientes:

Answer 1

El planteamiento del problema es erróneo. Por ejemplo, considere $$ Ax=\pmatrix{1&1\\ 1&2}\pmatrix{2\\ -1}=\pmatrix{1\\ 0} $$ con $B_{12}=A^{-1}$ et $B_{22}=(a_{22})^{-1}=\frac12$ . Entonces $\frac{\det(B_{22})}{\det(B_{12})}=\frac{1/2}{1}\ne2=x_1$ .

La afirmación correcta debería ser $x_1=\frac{\det(A_{k+1})}{\det(A_{k})}=\frac{\det(B_{kn})}{\det(B_{k+1,n})}$ , donde $A_k$ denota la matriz principal posterior tomada del $k$ -hasta las últimas filas/columnas de $A$ . Esto es una consecuencia directa de la regla de Cramer.