¿Por qué la secuencia $x(n) = \log n$ **¿No es Cauchy?

Question

Leí en el libro Análisis aplicado por Hunter y Nachtergale que

la secuencia $x(n)=\log(n)$ no es Cauchy ya que $\log(n)\to\infty$

Pero eso parece ser irrelevante a la definición de una secuencia de Cauchy que entiendo es la siguiente:

Una secuencia $x(n)$ se dice que es Cauchy si para cada $\epsilon > 0$ existe un $N$ tal que $\lvert x(m)-x(n)\rvert < \epsilon$ para todos $m,n>N$ .

Esta secuencia $(\log n)$ parece cumplir la definición. Entonces, ¿cómo es que no se considera Cauchy?

Answer 1

Pista. Mira la diferencia $$ \log(2n) - \log(n) . $$

Answer 2

La respuesta corta es que $\mathbb{R}$ es completa por lo que toda secuencia de Cauchy tiene un límite en $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, ya que $log(n)$ no tiende a un número real no puede ser Cauchy.

Para ver por qué su idea no funciona arreglar $\epsilon=1$

Nota $|log(m)-log(n)| = |log(\frac{m}{n})|$

Por cualquier N que me des, escoge alguna $n>N$ entonces para cualquier $m>en$ tenemos $|log(m/n)|>1=\epsilon$

Edición: en respuesta al comentario del post original, no necesitamos el infinito para "contar" - toda secuencia de Cauchy tiene un límite finito. Es fácil ver que toda sucesión de Cauchy está acotada ya que $\exists N \in \mathbb{N}: |x_n-x_N|<1 \forall n>N$ Desde $x_N$ fija la secuencia está acotada para $n>N$ y los primeros N términos son una secuencia finita así acotada.

Answer 3

No está claro por qué dices que la secuencia $(\log(n))$ "parece" satisfacer la definición de secuencia de Cauchy, pero en realidad no es así.

Es trivial desde la definición que cualquier secuencia de Cauchy está acotada; no es necesario invocar el hecho de que las secuencias de Cauchy de los reales son convergentes: Digamos que $(x_n)$ es Cauchy. La definición muestra que existe $N$ tal que $|x_n-x_m|<1$ por cada $n,m> N$ . Así que en particular $|x_{N+1}-x_n|<1$ por cada $n>N$ y ahora la desigualdad del triángulo muestra que $$|x_n|<|x_{N+1}|+1\quad(n>N).$$ Así que $x_n$ está acotado.

Answer 4

Respondiendo tarde ya que no parece haber una prueba completa para tu pregunta. En aras de la contradicción, supongamos $(\log(n))_n$ es Cauchy. Sea $\epsilon>0$ . Entonces existe $N \in \mathbb{Z}_+$ tal que $|\log(n)-\log(m)|<\epsilon$ para $n \geq m \geq N$ . Nota: $|\log(n)-\log(m)|=|\log\left(\frac{n}{m}\right)|=\log\left(\frac{n}{m}\right)<\epsilon$ para $n \geq m \geq N$ . La eliminación del valor absoluto se debe a que $\log\left(\frac{n}{m}\right)\geq 0$ para cualquier $n,m \in \mathbb{Z}_+$ con $n \geq m$ .

Recordemos que la función exponencial es creciente, y por tanto preserva la desigualdad. De ello se desprende que $\frac{n}{m}<e^\epsilon$ . Supongamos ahora que $n>\max(N,me^\epsilon,m)$ . A continuación $\frac{n}{m}>e^\epsilon$ . Esto es una contradicción. Por lo tanto, $(\log(n))_n$ no puede ser Cauchy. $\square$

Answer 5

Porque no puede converger. " $x_n$ es una sucesión de Cauchy si y sólo si es convergente". ( $x_n$ es una secuencia real).