Algebraicidad de una variedad compleja con límite en el grado del campo cociente del anillo de funciones holomorfas

Question

Actualizado: El problema inicial no era correcto. Gracias a Georges Elencwajg.

¿Es válida la siguiente afirmación?

Dejemos que $N$ sea una zona compacta y conectada $n$ -de un complejo de dimensiones. Sea $X$ sea el espacio total del haz tangente holomorfo de $N$ y que $R$ sea el anillo de funciones holomorfas sobre $X.$ Desde $X$ está conectado, $R$ es un dominio y denota $K$ como su campo cociente. Si $\text{tr. deg}_{\mathbb{C}} K \geq n,$ entonces $N$ es algebraico.

Answer 1

Creo que esto no es cierto.

Toma para $N$ cualquier no-algebraico $n$ -de la Tierra, con un haz tangente trivial: un toro no algebraico, por ejemplo.
El haz tangente $T(N)$ siendo isomorfo a $N\times \mathbb C^n$ elevando las funciones holomórficas de $\mathbb C^n$ à $T(N)=N\times\mathbb C^n$ a través de la segunda proyección muestra que $\mathcal O(\mathbb C^n) \subset \mathcal O(T(N))=R$ .
Por supuesto $\mathbb C[T_1,....,T_n] \subset O(\mathbb C^n)$ y en consecuencia $\mathbb C(T_1,....,T_n) \subset Frac(O(\mathbb C^n))\subset Frac(O(T(N)))=K$ lo que demuestra que $trdeg_{\mathbb C} K \geq n$ aunque $N$ no es algebraico.