pregunta relacionada con la conjetura de Goldbach

Question

Me preguntaba si existe una prueba de la siguiente afirmación. Todo número par $n \gt 30$ puede expresarse como una suma de a impar primo y otro relativamente primo impar número compuesto (siendo relativamente primo de $n$ ).

Ejemplos: 26 = 15 + 11, 48 = 23 + 25; 50 = 23 + 27, etc. Gracias.

Answer 1

Incluso para $n$ , dejemos que $p$ sea un primo que ocurra en el intervalo $[\frac{n}{2},n-2]$ y que $q=n-p$ . Entonces $n=p+q$ y como $q<p$ et $p$ es primo, los sumandos serán enteros Impares relativamente primos. La existencia de al menos un $p$ está garantizado para $n>6$ por los fuertes El postulado de Bertrand . Esta construcción puede no dar un compuesto $q$ para algunos $p$ en el intervalo.

Si, para cada primo $p$ , seguimos obteniendo un primo $q$ entonces hemos hecho tantas particiones de $n$ en dos primos como hay primos en $[\frac{n}{2},n-2]$ . Sea el número de estas particiones de Goldbach dado por $g(n)$ . Esto implicaría entonces que $g(n) = \pi(n-2) - \pi(\frac{n}{2}-\frac{1}{2})$ . A resultado sobre el límite superior de las particiones de Goldbach (Teorema $(1)$ en el documento), muestra que el último $n$ para lo cual $g(n) = \pi(n-2) - \pi(\frac{n}{2}-\frac{1}{2})$ es $210$ y para todos los siguientes $n$ , $g(n)$ es menor que este número. Por lo tanto, debe existir al menos un compuesto $q$ para todos $n>210$ .

Para $n\le210$ se puede comprobar computacionalmente si tienen tal partición, el primo tendría que ocurrir, en estos casos, en $3\le p < \frac{n}{2}$ .