Subálgebra no generada finitamente de un álgebra generada finitamente

Question

Ok, me siento un poco avergonzado por mi pregunta.

Esta tarde, en el tren, he buscado un contraejemplo:
- $k$ un campo
- $A$ un edificio finitamente generado $k$ -Álgebra
- $B$ a $k$ -subálgebra de $A$ que no está generada finitamente

Finalmente, he encontrado esto:
- $k$ cualquier campo
- $A=k[x,y]$
- $B=k[xy, xy^2, xy^3, \dots]$

(prueba : ejercicio)

Mis preguntas son:

1) ¿Cuál es su contraejemplo habitual?
2) ¿En qué condiciones podemos concluir que $B$ ¿es f.g.?
3) ¿Cómo interpretarías geométricamente este contraejemplo?

Answer 1

Es fácil poner ejemplos de tales subreglas. Por ejemplo, tomemos $A=k[x,y]$ y considerar el subring

$$B=k[x^a y^b : 0\le \frac{b}{a}<\sqrt{2}].$$ Geométricamente, $B$ está atravesado por monomios cuyos vectores de exponente se encuentran por debajo de la recta $y=\sqrt{2}x$ .

Creo que su pregunta es bastante interesante en el escenario donde $B=A^G\subset A$ es el anillo invariante de alguna acción de grupo sobre $A$ (o, de forma equivalente, en el espacio $X=\mbox{Spec }A$ ). En muchos casos esta subálgebra está finitamente generada, lo que permite definir un espacio cotizante $X/G$ por $Y=\mbox{Spec }A^G$ con muchas buenas propiedades. Esto ocurre, por ejemplo, si $G$ es finito o reductor. Sin embargo, como muestra el famoso contraejemplo de Nagata al 14º problema de Hilbert, $A^G$ puede generarse infinitamente, por lo que el problema de definir tales cocientes en general es sutil. (La construcción de Nagata es, de hecho, muy geométrica, pero un poco demasiado complicada para volver a exponerla aquí).

Answer 2

Estimado Nicojo, ya que ahora tienes muchos contraejemplos, déjame darte una situación en la que $B$ es generado finitamente, de acuerdo con su pregunta 2). Voy a adoptar tus anotaciones con la importante advertencia de que $k$ es un anillo que no necesita ser un campo .

Teorema de Artin-Tate Consideremos las inclusiones de anillos $k \subset B \subset A$ . Supongamos que $k$ es noetheriano, es decir $A$ es una entidad finitamente generada álgebra en $k$ y que $A$ es una entidad finitamente generada módulo en $B$ . Entonces $B$ es una entidad finitamente generada álgebra en $k$ .

Se podría interpretar como que cuando $B$ está lo suficientemente cerca de $A$ La generación finita se mantiene.

Puedes encontrar la prueba en Atiyah-Macdonald, Proposición 7.8, página 81. A partir de este teorema se puede demostrar el resultado de Zariski de que una extensión de campos que se genera finitamente como un álgebra es en realidad una extensión de dimensión finita (Proposición 7.9 página 82 loc.cit. ) y entonces el Nullstellensatz de Hilbert es literalmente un ejercicio: ejercicio 14, página 85 . Así que este resultado de Artin-Tate es realmente básico en el álgebra conmutativa y en la geometría algebraica, lo cual no es sorprendente si se tienen en cuenta los autores (el Artin aquí es Emil, el padre de Mike.)

Answer 3

Con respecto a sus preguntas.

1) He aquí otro ejemplo. $k[y, xy, y/x, y/x^2, y/x^3, \dots]$ . La localización de esto en el origen es un anillo de valoración (y esta idea puede utilizarse para construir muchos otros ejemplos).

2+3) Si se construyen ejemplos de este tipo, muchos se construyen pegando. En otras palabras, como empujones de diagramas de esquemas afines $$\{ X \leftarrow Z \rightarrow W \}.$$ donde $Z \to X$ es una inmersión cerrada y $Z \rightarrow W$ es arbitraria. La condición que se quiere entonces en (2) es que $Z \rightarrow W$ para ser un mapa finito. Algunas referencias relevantes son Ferrand , "Conducteur, descente et pincement", MR2044495 (2005a:13016) y Artin , "Algebraización de módulos formales II: Existencia de modificaciones", MR0260747 (41 #5370)

Por ejemplo, el anillo $k[x, xy, xy^2, \dots]$ es el empuje de $$\{ \mathbb{A}^2 \leftarrow \text{coordinate-axis} \rightarrow \text{point} \}.$$ Esto da una bonita interpretación geométrica, acabas de contraer un eje de coordenadas a un punto, puedes contraer otros esquemas y obtener nuevos ejemplos. Obsérvese el $Z \to W$ en este ejemplo es no finito.

Mi ejemplo en 1) es el empuje de

$$\{ \mathbb{A}^2 \setminus{V(x)} \leftarrow \text{Spec } k[x,y,x^{-1}]/(y) \rightarrow \text{Spec } k[x] \}.$$

Donde los mapas son los obvios. El $Z \rightarrow W$ tampoco es finito en este ejemplo.