Una pregunta sobre la doble representación.

Question

Considere una representación $\rho : G \to \operatorname{GL}(V)$ . Entonces sabemos que una representación dual $$\rho^* : G \to \operatorname{GL}(V^*)$$ viene dada por $\rho^*(g) = \rho(g^{-1})^t$ . Ahora, considere algunos $\alpha\in V^*$ . ¿Está claro que $$\alpha(\rho(g^{-1})v)=(\rho(g^{-1}))^t\alpha(v)?$$ ¿Se deduce del hecho de que $T^*f=f\circ T$ para todos $f\in V^*$ et $T \in \operatorname{Hom}(V,V)$ ?

Answer 1

La representación dual está, como su nombre indica, naturalmente definida en el dual $V^{\ast}$ , no en $V$ es decir, es $\rho : G \to GL(V^{\ast})$ . El hecho de que mezcles la toma del dual abstracto con la realización de la operación concreta de transposición hace que tu pregunta esté ligeramente mal planteada, y desmezclar y elegir una u otra aclarará las cosas.

Deshagámonos de la transposición y trabajemos con duales abstractos. El dual de un mapa lineal $T : V \to W$ entre espacios vectoriales es el mapa lineal $T^{\ast} : W^{\ast} \to V^{\ast}$ definidos en funcionales lineales $f : W \to k$ por

$$T^{\ast} : W^{\ast} \ni f \mapsto (v \mapsto f(Tv)) \in V^{\ast}.$$

Una forma equivalente de formular esta definición, que entre otras cosas hace transparente la relación con la toma de transposiciones, es que $T^{\ast}$ satisface

$$\langle T^{\ast}(f), v \rangle_V = \langle f, T(v) \rangle_W$$

donde $\langle -, - \rangle_V$ es una notación sugestiva para el emparejamiento dual $V^{\ast} \otimes V \to k$ .

Si $\rho : G \to GL(V)$ es una representación de un grupo $G$ en un espacio vectorial f.d. $V$ obtenemos una representación dual $\rho^{\ast} : G \to GL(V^{\ast})$ a través de

$$\rho^{\ast}(g) = \rho(g^{-1})^{\ast}.$$

Esto significa, por definición, que

$$\langle \rho^{\ast}(g)(f), v \rangle_V = \langle f, \rho(g^{-1})(v) \rangle_V$$

que, si he entendido bien, es lo que pides pero con el LHS y el RHS cambiados.