Suma más de Weierstrass $\wp$ funciones

Question

He estado tratando de probar la siguiente cerrado expresión por una suma de más de Weierstrass $\wp$-funciones:

\begin{equation} \sum_{k=1}^{N-1} \wp_N(k) = \frac{2}{\omega}\left(\zeta\left(\frac{\omega}{2}\right)-N\zeta_N\left(\frac{\omega}{2}\right)\right), \end{equation}

donde $\wp_N$ es el habitual WeierstrassP función de los períodos $(N,\omega)$, $\zeta_N$ es el Weierstrass zeta-función con períodos de $(N,\omega)$ $\zeta$ es el de Weierstrass zeta-función con períodos de $(1,\omega)$. También, $N \in \mathbb{N}$, $N\geq 2$ y $\omega = i\pi/\kappa $ algunos $\kappa\in \mathbb{R_{>0}}$.

Mi enfoque a un problema es encontrar un cuasi-periódicos de la función $F$, es decir, la satisfacción de $$F(z+1) = \alpha F(z),\qquad F(z+\omega)=F(z), $$ donde$\alpha \in \mathbb{C}$$|\alpha| >0$. Esta $F$, entonces debe tener el lado izquierdo de la expresión anterior en su Laurent de la serie. En segundo lugar, me postular una función diferente que tiene exactamente el mismo polo de la estructura como $F$. Debido a que el teorema de Liouville para funciones elípticas, uno puede entonces concluir que debe ser igual (cuasi-periodicidad dicta que su diferencia no es sólo una constante, pero debe ser cero). La equiparación de las Laurent-de los coeficientes, a continuación, debe ceder la ecuación dada anteriormente.

En este caso, se podría utilizar una modificación apropiada de la función de $F(z) = \sum_{k=0}^{N-1} \wp_N(z+k)$, que tiene su orden cero Laurent coeficiente de, precisamente,$\sum_{k=1}^{N-1} \wp_N(k)$. Esta $F$ es doblemente periódicas con periodos de $(1,\omega)$ y por lo tanto no satisface cuasi-periodicidad todavía. Su Laurent de expansión es igual a $$ F(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^{N-1} \wp_N(k)+ O(z) $$ y por lo tanto tiene el mismo polo de la estructura como de la $\wp(z)$ (con períodos de $(1,\omega)$).

¿Este enfoque de trabajo en todo, y si sí, que la función $F$ se debe utilizar? Si no, ¿cómo se podría demostrar la anterior afirmación?

En la media hora, he encontrado una función de $F$, lo que podría hacer el truco. Usando el argumento anterior, he demostrado que $$ F(z)=\sum_{k=0}^{N-1} e^{ipk}\wp_N(z+k) $$ es igual $$ G(z) = -\frac{\sigma(z+r)}{\sigma(z-r)}e^{\frac{p}{\pi}\zeta(\omega/2)z}\left( \wp(z) -\wp(r) +\Delta(r)\left(\frac{\wp'(z)-\wp(r)}{\wp(z)-\wp(r)} -\frac{\wp"(r)}{\wp(r)} \right) \right) $$ donde $r=-ip/(4\kappa)$, $\Delta(r) = \zeta(r) +\frac{p}{2\pi}\zeta(\omega/2)$ y $\wp$ $\zeta$ se definen en el entramado $(1,\omega)$. Aquí $\sigma$ es el habitual de Weierstrass $\sigma$ función y también se define en el entramado $(1,\omega)$. $p$ es un no-cero de número complejo. La expansión de la $G$ alrededor del punto de $z=0$ es igual, la escritura $\delta=\frac{p}{\pi}\zeta\left(\frac{\omega}{2}\right)$ \begin{eqnarray}\label{laurent0} G(z) &=& \left( 1+2 \zeta(r)z+2\zeta^2(r) z^2 +O(z^3)\right)\left(1+\delta z +\frac{1}{2}(\delta z)^2\right) \nonumber \\ & &\times \left\{\frac{1}{z^2}-\wp(r) +\Delta\left( -\frac{2}{z} -\wp(r)z + \wp'(r) z^2 -\frac{\wp''(r)}{\wp'(r)}\right) \right\} \nonumber \\ &=& \frac{1}{z^2} + \frac{2\zeta(r) +\delta -2\Delta}{z} + \left(-\wp(r) -\Delta\frac{\wp''(r)}{\wp'(r)} +\left(\zeta(r) +\delta/2\right)\left(-4\Delta+2(\zeta(r) +\delta/2) \right) \right) +O(z). \nonumber \\ \end{eqnarray} Uno ve que el término va como $\frac{1}{z}$ se desvanece debido a nuestra definición de $\Delta(r)$. Por la equiparación de sus respectivos Laurent de la serie, he encontrado $$ \sum_{k=1}^{N-1} e^{ipk}\wp_N(k) = -\wp(r) -\Delta(r) \frac{\wp"(r)}{\wp(r)}-2\Delta(r)^2. $$ Sin embargo, cuando me saque el límite de $p\rightarrow 0$ -- por la expansión de la mano derecha, $p$ y tomando el término de orden cero -- me parece $$ \sum_{k=1}^{N-1}\wp_N(k) = \frac{2}{\omega}\zeta\left(\frac{\omega}{2}\right), $$ que no es exactamente la respuesta que yo sé que es verdadero en la parte superior de esta pregunta. También, el análisis numérico de esta expresión muestra de manera concluyente que la ecuación anterior no puede ser verdad, mientras que la ecuación en la parte superior de esta página rendimientos de los resultados correctos en todo momento.

Answer 1

Para $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, vamos a $L(\alpha,\beta)$ ser el entramado $\{\; m\alpha+n\beta : m, n \in \mathbb{Z}\;\}$ $[\alpha, \beta]$ ser el segmento de la línea de $\{\; t\alpha + (1-t)\beta : t\in\mathbb{R}, 0 \le t \le 1\;\}$ unirse a $\alpha$$\beta$. Considere la posibilidad de la la función $\sum\limits_{k=0}^{N-1}\wp_N(z+k)$, tiene el doble de polos en el entramado $L( 1, \omega)$ cualquier $z$ cerca de $\lambda \in L(1,\omega)$, tenemos

$$\sum_{k=0}^{N-1} \wp_N(z+k) \sim \frac{1}{(z-\lambda)^2} + O(1)$$

es decir, tiene el mismo conjunto de polos como $\wp(z)$ y el singular comportamiento en cada polo es también el mismo. Esto significa que su diferencia es doblemente periódica de la función y, por tanto, es una constante. Deje $K$ ser constante:

$$\sum_{k=0}^{N-1} \wp_N(z+k) - \wp(z) = K\tag{*1}$$

Aviso para $z$ cerca de $0$, tenemos:

$$\wp_{N}(z) = \frac{1}{z^2} + O(z^2)\quad\text{ and }\quad\wp(z) = \frac{1}{z^2} + O(z^2)$$ Tomando el límite de$z \to 0$$(*1)$, obtenemos:

$$\sum_{k=1}^{N-1} \wp_N(k) = K\tag{*2}$$

Para solucionar $K$, escoja una $\tau$ tal que $[\tau-\frac{\omega}{2},\tau+\frac{\omega}{2}] \bigcap L(1,\omega) = \emptyset$ e integrar a $(*1)$ a lo largo del segmento de la línea de $[\tau-\frac{\omega}{2},\tau+\frac{\omega}{2}]$, obtenemos

$$K\omega = \int_{\tau\frac{\omega}{2}}^{\tau+\frac{\omega}{2}}\left( \sum_{k=0}^{N-1} \wp_N(z+k) - \wp(z)\right) dz$$

El uso de $\zeta'_N(z) = -\wp_N(z)$$\zeta'(z) = -\wp(z)$, esto se reduce a:

$$K\omega = -\sum_{k=0}^{N-1} \left(\zeta_N\left(\tau+k+\frac{\omega}{2}\right) - \zeta_N\left(\tau+k - \frac{\omega}{2}\right)\right) + \left(\zeta\left(\tau+\frac{\omega}{2}\right) - \zeta\left(\tau \frac{\omega}{2}\right)\right)$$

Como una función de $\tau$, $\zeta\left(\tau+\frac{\omega}{2}\right) - \zeta\left(\tau-\frac{\omega}{2}\right)$ es una constante debido a la

$$\zeta'\left(\tau+\frac{\omega}{2}\right) - \zeta'\left(\tau\frac{\omega}{2}\right) = -\wp\left(\tau+\frac{\omega}{2}\right) + \wp\left(\tau\frac{\omega}{2}\right) = 0.$$

Tomando el límite de $\tau \to 0$ y utilizando el hecho de $\zeta(\tau)$ es una función impar, obtenemos

$$\zeta\left(\tau+\frac{\omega}{2}\right) - \zeta\left(\tau-\frac{\omega}{2}\right) = 2\zeta\left(\frac{\omega}{2}\right)\tag{*3a}$$

Lo mismo ocurre con las $\zeta_N(\cdot)$ y hemos

$$\zeta_N\left(\tau+\frac{\omega}{2}\right) - \zeta_N\left(\tau-\frac{\omega}{2}\right) = 2\zeta_N\left(\frac{\omega}{2}\right)\tag{*3b}$$ Sustituto $(*3a)$ $(*3b)$ en la expresión anterior para $K\omega$ y se combinan con $(*2)$, obtenemos

$$K\omega = 2\left(\zeta\left(\frac{\omega}{2}\right) - N\zeta_N\left(\frac{\omega}{2}\right)\right) \quad\implica\quad \sum_{k=1}^{N-1} \wp_N(k) = \frac{2}{\omega}\left(\zeta\left(\frac{\omega}{2}\right) - N\zeta_N\left(\frac{\omega}{2}\right)\right) $$