Volúmenes de n bolas: ¿qué tiene de especial n=5?

Question

Vuelvo a publicar esta pregunta de math.stackexchange donde todavía no ha generado la respuesta que buscaba.

• El volumen de un $n$ -de radio $R$ viene dada por la fórmula clásica $$V_n(R)=\frac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(n/2+1)}.$$ No es difícil ver que la relación "adimensional" $V_n(R)/R^n$ alcanza su valor máximo cuando $n=5$ .

• La relación "adimensional" $S_n(R)/R^n$ donde $S_n(R)$ es el $n$ -de un volumen de dimensión de un $n$ -alcanza su máximo cuando $n=7$ .

Pregunta. ¿Existe una explicación puramente geométrica de por qué los valores máximos en cada caso se alcanzan en estos valores particulares de la dimensión?

[EDIT. Gracias a todos por las respuestas y comentarios].

Answer 1

Hay muchas relaciones "adimensionales": elegir $R$ ya que la medida lineal es arbitraria. Por ejemplo, la relación entre el volumen de la esfera y el volumen del cubo circunscrito tiene un máximo en $n=1$ . La relación con el volumen del cubo inscrito nunca alcanza un máximo. Existen cubos intermedios geométricamente relacionados, en los que todas las caras de alguna dimensión son tangentes a la esfera unitaria. He aquí el gráfico de la relación de volúmenes cuando las caras de codimensión 2 de un cubo son tangentes. Alcanza el máximo para $n = 12$ (apenas más que para $n=11$ ). Hay muchas otras comparaciones adimensionales razonables, por ejemplo, la comparación con un simplex, etc. etc. Como la función Gamma crece de forma superexponencial, estas simples variaciones geométricas tienden a desplazar el máximo --- no hay nada especial en 5 o 7.

        (fuente: Wayback Machine)

Answer 2

En mi opinión, no hay nada especial en $n = 5$ .

La "relación adimensional" $V_n(R) / R^n$ es la relación entre el volumen del $n$ -bola de radio $1$ al volumen del $n$ -cubo de longitud lateral $1$ . Así que esto se maximiza en $n =5$ Pero, sin rodeos, ¿y qué?

Más interesante desde el punto de vista geométrico podría ser la relación igualmente adimensional $V_n(R) / (2R)^n$ que es la relación entre el volumen del $n$ -bola al volumen de la más pequeña $n$ -cubo que lo contiene. Esto es monótonamente decreciente (para $n \geq 1$ ), mostrando que las bolas disminuyen su volumen con respecto a su contenedor cúbico más pequeño, a medida que aumenta la dimensión. Esto tiene más contenido geométrico, ya que aquí hay una relación geométrica simple entre la esfera y el cubo.

Se podrían considerar muchos problemas similares, que implican la inscripción de un cubo dentro de una esfera (en lugar de al revés), o el uso de un ortoplex o un policilindro u otra figura en lugar de un cubo. Todos ellos tienen algún contenido geométrico y se expresan como una secuencia de relaciones adimensionales.

Answer 3

Brian Hayes ha muy buen artículo (Wayback Machine) sobre el volumen de la bola n en el número actual de Científico americano (Nov 2011). En particular, analiza el sorprendente hecho de que el volumen máximo se produce en $n=5$ .

Answer 4

Un resultado muy celebrado en un tema relacionado es el siguiente, que supuso un avance muy importante en el problema de Busemann-Petty (no te preocupes, la revisión matemática tiene todo lo que necesitas saber). EDITAR por demanda popular, la revisión se puede ver aquí (Wayback Machine) .

@incollection {MR950983,
    AUTHOR = {Ball, Keith},
     TITLE = {Some remarks on the geometry of convex sets},
 BOOKTITLE = {Geometric aspects of functional analysis (1986/87)},
    SERIES = {Lecture Notes in Math.},
    VOLUME = {1317},
     PAGES = {224--231},
 PUBLISHER = {Springer},
   ADDRESS = {Berlin},
      YEAR = {1988},
   MRCLASS = {52A40},
  MRNUMBER = {950983 (89h:52009)},
MRREVIEWER = {G. D. Chakerian},
       DOI = {10.1007/BFb0081743},
       URL = {http://dx.doi.org/10.1007/BFb0081743},
}