Prueba proporcional

Question

Pregunta: ¿Cómo demostrarías este teorema?

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Si $$\frac ab=\frac cd=\frac ef=\&c\tag1$$ Entonces $$\frac ab=\frac {a+c+e+\&c}{b+d+f+\&c}\tag{2}$$

Y utilizando esa prueba, ¿es posible demostrar el siguiente teorema generalizado:

Fórmula general: Si $\frac ab=\frac cd=\frac ef=\&c=k$ entonces tenemos $k$ como $$k=\frac {pa^n+qc^n+re^n+\&c}{pb^n+qd^n+rf^n+\&c}^{\frac 1n}\tag3$$ Para $p,q,r,\&c$ son cualquier cantidad.

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Sé de compenendo et dividendo donde si $\frac ab=\frac cd$ entonces $\frac {a+b}{a-b}=\frac {c+d}{c-d}$ . Pero no estoy muy seguro de que eso ayude a demostrar ambas fórmulas.

Básicamente, no sé por dónde empezar ni qué técnicas debo emplear. ¡Cualquier cosa se agradece!

Answer 1

O tienes un error tipográfico o eso es muy falso:

Dejemos que $a = c = e = \lambda = 2$ y $b = d = f = 1$ .

Entonces tienes $$\frac ab=\frac {a+c+e+\lambda}{b+d+f+\lambda} \iff \frac 21=\frac {2+2+2+2}{1+1+1+2} \iff 2 = \frac85$$

Suponiendo que no haya querido poner el $\lambda$ allí, teniendo así

$$\frac ab=\frac {a+c+e}{b+d+f}$$ puedes seguir la pista en los comentarios y poner

$$\begin{cases} a = \lambda b\\c = \lambda d\\ e = \lambda f\end{cases}$$

y tener:

$$\lambda=\frac {\lambda b + \lambda d + \lambda f}{b+d+f} \iff \lambda = \lambda \frac {b + d + f}{b+d+f} \iff \lambda = \lambda$$

Del mismo modo, con las mismas sustituciones podemos tener

$$\lambda=\frac {p(\lambda b)^n+q(\lambda d)^n+r(\lambda f)^n}{pb^n+qd^n+rf^n}^{\frac 1n} \iff \lambda = ((\lambda)^n\frac {pb^n+qd^n+rf^n}{pb^n+qd^n+rf^n})^{\frac 1n} \iff \lambda = {\lambda^n}^\frac1n$$

Answer 2

De otra manera:

Tenemos un teorema donde dado $\frac ab=\frac cd=\frac ef=\ldots=k$ podemos escribirlo como $$k=\frac {a+c+e\ldots}{b+d+f\ldots}\tag1$$

Podemos multiplicar el numerador y los denominadores por $p,q,r\ldots$ para mantener la fracción igual y subir todo el $n$ poder. Por lo tanto, ahora tenemos $(1)$ como $$k^n=\frac {pa^n+qc^n+re^n+\ldots}{pb^n+qd^n+rf^n+\ldots}\tag{2}$$ Y tomando la $n^{\text{th}}$ raíz, nos da $(3)$ .