Implicación de la conjetura de Polignac sobre la distribución de primos en modelos de AP

Question

La conjetura de Polignac (PC) es que existen infinitos pares de números primos consecutivos que están a una distancia $d$ aparte de algún número natural $d$ . La conjetura de los primos gemelos es el caso particular de esta conjetura para $d = 2$ . El hecho de que esta conjetura siga abierta tiene algunas implicaciones interesantes en los modelos no estándar de la Aritmética de Peano (AP). Específicamente, es un ejercicio estándar mostrar que todo modelo de AP tiene un tipo de orden $\mathbb{N} + \mathbb{Z} \cdot A$ para algún orden lineal denso sin puntos finales. Así, todo modelo no estándar tiene un segmento inicial de números naturales seguido de números no estándar que aparecen en una colección densa ordenada linealmente sin límites de lo que se denomina bloques de números enteros o $\mathbb{Z}$ -bloques. De lo que me di cuenta (alguien más debe haberse dado cuenta también, así que por favor mencione las referencias si conoce alguna) es que si la conjetura de Polignac resulta ser falsa, entonces tendríamos la siguiente fuerte limitación en el número de primos que aparecen en $\mathbb{Z}$ -Bloques.

( $\mathbb{N} \vDash \lnot PC$ ) Si $M$ es un modelo de AP y es $\Sigma^0_1$ -equivalente a la teoría de $\mathbb{N}$ entonces $M$ puede tener como máximo un primo que aparezca en cualquier $\mathbb{Z}$ -block : Si no, entonces para algunos $d \in \mathbb{N}$ habría un par de números no estándar que $M$ vería como dos primos consecutivos una distancia $d$ aparte. Como esto ocurre en un $\mathbb{Z}$ -bloque, para cualquier número natural verdadero $n$ el modelo $M$ piensa que hay un par de primos consecutivos mayores que $n$ a distancia $d$ aparte. Entonces, por $\Sigma^0_1$ -elementalidad, $\mathbb{N}$ pensaría lo mismo así que $\mathbb{N}$ tendría un número ilimitado de pares de primos consecutivos a una distancia $d$ separadas, haciendo que la conjetura de Polignac sea cierta (en el modelo estándar).

Mi pregunta se refiere a los otros modelos de AP:

¿Podemos demostrar que existe un modelo no estándar de AP que tenga un $\mathbb{Z}$ -¿un bloque con al menos dos primos? Mejor aún, ¿podemos demostrar que existe un modelo de PA con un número ilimitado de $\mathbb{Z}$ -¿bloques que tienen al menos dos primos?

Answer 1

Para simplificar, tomemos $d=2$ . Entonces la existencia de un modelo de PA con al menos un par de primos gemelos no estándar es equivalente a la afirmación

Para todos los primos (fijos, estándar) $p$ la sentencia $$\phi_p:\forall x>p,\,\,\, x \textrm{ is not prime or } x+2 \textrm{ is not prime }$$ no es demostrable en PA.

¿Es razonable dedicar mucho tiempo a buscar una prueba de esto antes de que se resuelva la conjetura de los primos gemelos? Mi opinión es que no, y he aquí el motivo.

Todas las construcciones conocidas de modelos no estándar de AP dependen de alguna manera de un oráculo que pueda determinar qué oraciones son consistentes con AP, o que pueda determinar qué conjuntos son y no son miembros de algún ultrafactor no principal. No tengo ninguna objeción a tales argumentos, pero es bueno tener claro los impresionantes poderes de tal oráculo: En relación con el lugar en el que nos encontramos, este es el punto de vista de la eternidad. Sería notable, en efecto, que se pudiera derivar algún enunciado de la teoría elemental de los números a partir de tales construcciones generales, y que yo sepa, ninguno lo ha hecho.

Existe una analogía con un párrafo del texto de teoría de números de Hardy y Wright. Sea $c$ sea la constante $.020300500000007\ldots$ . La cuestión es que la definición de $c$ depende del conocimiento previo de la secuencia de primos. Utilizando $c$ podemos dar una fórmula muy sencilla para el $n$ que es, como comenta Hardy, completamente inútil para demostrar cosas sobre los primos.

En la misma línea, hay una portada de un libro, creo que de Mahler, que dice:

     If you want to make sausage you have to put some pork in the grinder.

Es peligroso decir nunca, y a pesar del teorema de Tennenbaum, podría llegar un día en el que se descubra alguna representación de los modelos de AP que permita obtener información sobre estos modelos a partir de alguna fuente distinta de los axiomas de Peano... pero hasta donde yo sé, ese día no ha llegado. Lo más parecido a un teorema de representación de este tipo que he visto es un teorema inédito de Tennenbaum, que demuestra que todo modelo contable de AP se puede incrustar en $\mathbb{R}^{\omega}$ modulo el filtro cofinito: En otras palabras, se puede pensar en los elementos de los modelos de PA como gérmenes al infinito de secuencias de números reales. Una vez pregunté a Greg Cherlin sobre la utilidad de esta representación. Su respuesta fue: "No hay almuerzo gratis".