Métrica única de Kahler-Einstein $g$ con $\mathrm{Ricc}(g)=-g$ cuando la primera clase de Chern $C_1(M)<0$ : $\mathrm{Ricc}(h)=-g\,\Rightarrow\,h=cg$ para $c>0$ ?

Question

En una variedad compacta de Kahler, sea $g$ sea la única métrica de Kahler-Einstein con $\mathrm{Ricc}(g)=-g$ se demostró que existe por Yau y Aubin cuando la primera clase de Chern $C_1(M)<0$ .

Pregunta : Hace $g$ satisfacer la unicidad hasta la homotecia en el siguiente sentido: si $h$ es otra métrica que satisface $\mathrm{Ricc}(h)=-g$ entonces $h=cg$ para algunos $c>0$ ?

Answer 1

Así que aquí supongo que $M$ es una variedad compacta de Kähler. Gracias al teorema de Yau, sabemos que existe una única métrica de Kähler $h$ en cada clase de cohomología de Kähler tal que $\mathrm{Ric}(h)=-g$ (de forma más general se puede prescribir que la forma de Ricci es cualquier forma en la clase de cohomología de $c_1(M)$ ).

Así que, para responder a tu pregunta, hay muchas métricas de este tipo $h$ pero sólo hay uno en cada clase de cohomología de Kähler de $M$ . En particular, si $h$ se encuentra en un múltiplo (positivo) de $-c_1(M)$ entonces $h$ es proporcional a $g$ .