Inmersiones de codimensión cero

Question

Dada una inmersión de la n-1-esfera en un n-manifold (cerrado), ¿cuándo se extiende a una inmersión del n-disco?

Observación: Si la esfera tuviera una dimensión k menor que n-1, entonces dicha inmersión existiría si y sólo si el mapa correspondiente de la k-esfera a la colecta de Stiefel es 0-homotópico. Éste es el teorema de Hirsch-Smale y, de hecho, un ejemplo de un principio h. Sin embargo, el caso k=n-1 es exactamente el caso excepcional que NO obedece a un principio h. Ejemplos sencillos (Figura 8.1. en el libro de Eliashberg-Mishachev) muestran que existen inmersiones del círculo en el plano que tienen una extensión formal pero no una extensión genuina al 2-disco. Entonces, ¿se sabe algo sobre las condiciones suficientes para la extensibilidad?

Answer 1

Esto es sutil, incluso para $n=2$ . En este caso, claramente el problema se reduce a $S^2$ o $\mathbb{R}^2$ ya que cada superficie tiene una de ellas como cubierta universal. Samuel Blank encontró un criterio para determinar si una curva en $\mathbb{R}^2$ limita a un disco sumergido. Una exposición ha sido dada por Valentin Poenaru y el criterio se ha ampliado a $S^2$ por Frisch . En estos documentos también se discute un poco sobre el problema de la dimensión superior.

Answer 2

Smale-Hirsch no es sólo un teorema sobre la existencia de inmersiones. Es un teorema sobre la homotopía del espacio de todas las inmersiones.

Dada una inmersión $$S^{n-1} \to \mathbb R^n$$

se obtiene un monomorfismo del haz

$$TS^{n-1} \to \mathbb R^n$$

Hay un bonito truco que demuestra que el espacio de todos esos monomorfismos de haces tiene el tipo homotópico de $Maps(S^{n-1}, SO_n)$ . El proceso es el siguiente. Dado un monomorfismo de haz $f : TS^{n-1} \to \mathbb R^n$ el mapa asociado $G(f) : S^{n-1} \to SO_n$ se define por, dado $p \in S^{n-1}$ y $v \in \mathbb R^n$ . Entonces $G(f)(p)(v)$ se define dejando que $v_\perp \in \mathbb R$ y $V_{||} \in T_pS^{n-1}$ sea la componente ortogonal y la proyección ortogonal en el espacio tangente de $v$ y $G(f)(p)(v) = f(p)(v_{||}) + v_{\perp}f(p)^+$ donde $f(p)^+$ es el vector unitario normal a $f(p)(T_pS^{n-1})$ elegido para que $G(f) \in SO_n$ es decir, que no se invierte la orientación. También se puede invertir esta construcción, para pasar de los mapas $S^{n-1} \to SO_n$ para agrupar las inmersiones $TS^{n-1} \to \mathbb R^n$ .

Es básicamente por diseño, una homotopía de $G(f)$ puede reinterpretarse como un $1$ -familia de parámetros de inmersión $S^{n-1} \to \mathbb R^n$ equipado con un campo vectorial normal.

Quizás no se pueda extender esta familia de 1 parámetro a una inmersión $S^{n-1} \times [0,1] \to \mathbb R^n$ . ¿Es esa la cuestión clave?

Answer 3

Christian Pappas dio un método teórico de Morse para construir todas las extensiones de una inmersión de codimensión 1 $f:\partial N\to W$ a una inmersión $F:N\to W$ con $F|_{\partial N}=f$ .