Aproximaciones a la hipótesis de Riemann con métodos ajenos a la teoría de los números

Question

Antecedentes: Una vez, un teórico analítico de los números me comentó que todos los intentos de demostrar la hipótesis de Riemann con métodos de teoría de los números habían fracasado. Desde entonces, esa observación se me quedó grabada.

La veracidad de la opinión del aludido teórico del número no importa realmente para que la pregunta tenga sentido; sólo la he incluido como antecedente.

Pregunta:

¿Cuáles son algunos métodos prometedores desde fuera de la teoría de los números para acercarse a la hipótesis de Riemann?

Conozco dos:

1. El enfoque geométrico de Artin, Hasse, Weil y Deligne, cuyo resultado más importante es la demostración de las conjeturas de Weil.

2. El enfoque Bost-Connes. Este enfoque es el siguiente Lieven Le Bruyn por ejemplo y tiene una pizca de termodinámica .

Me imagino que ambas cosas son citadas por algunas personas como base de las esperanzas de que la teoría del campo con un elemento demuestre la hipótesis de Riemann. De nuevo, esta cuestión formalmente no tiene necesidad de estar conectada la teoría del campo con un elemento para tener sentido. Aparte de mencionar lo anterior, no vamos a entrar en ese aspecto.

Me interesan otros métodos posibles y prometedores. No me interesa una formulación equivalente de la hipótesis de Riemann que no sea mejor que la original. Los dos anteriores son muy prometedores en cuanto a cosas no descubiertas y podrían dar una "visión general" mucho mejor.

Un enfoque que me resulta ambivalente es el de Báez-Duarte. Aunque proporciona algunas pruebas. No sé si es más fácil demostrar la hipótesis de Riemann de esa manera, en lugar de la afirmación original.

Por favor, dame ejemplos de otros métodos; preferiblemente muy "prometedores".

Edición 1: El significado de "métodos fuera de la teoría de números" es el siguiente: Nada en el libro de Ivic o Titchmarsch y Heath-Brown. Más precisamente, métodos fuera de los temas tradicionales de la teoría elemental de números y de la teoría analítica de números. He dado dos ejemplos arriba. Uno con la geometría algebraica y otro con la termodinámica.

Answer 1

Es imposible decir si un enfoque es prometedor. En mi opinión, el enfoque más interesante es mediante la construcción de $\mathbb{F}_1$ . La página de la wikipedia tiene enlaces a los distintos intentos. Uno espera que después de que se construya una teoría adecuada, una de las pruebas del análogo de campo de funciones de RH sea traducible al caso de campo de números.

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element

p.d. Creo que esto es teoría de números y no estoy de acuerdo con tu teórico analítico de números.

Answer 2

Hasta donde yo sé, no hay ninguna aproximación a la Hipótesis de Riemann que se haya desarrollado lo suficiente como para que un experto, incluso medianamente escéptico, la respalde con alguna probabilidad. Creo que esta situación debe contrastarse con la del Último Teorema de Fermat [FLT]: muchos teóricos de los números, si hubieran sabido, digamos en 1990, que Wiles estaba trabajando en el FLT a través de Taniyama-Shimura, lo habrían encontrado plausible y alentador. El trabajo de Wiles era absolutamente un tour de force Pero, en el fondo, utilizaba herramientas preexistentes en la comunidad de la teoría de los números, herramientas (por ejemplo, la teoría de las deformaciones de Galois de Mazur) cuya potencia y relevancia para los problemas en cuestión se apreciaban y se sabía que no se habían explotado plenamente. Del mismo modo, la demostración de la conjetura de Serre por parte de Khare-Wintenberger representa uno de los mejores trabajos sobre teoría de los números de la última década, y si usted fuera un experto en la materia en el año 2000 (de nuevo, yo no, pero tengo amigos), a menos que pudiera predecir de algún modo las potentes técnicas que Mark Kisin desarrollaría en el transcurso de los años siguientes, su estimación de cuándo se demostraría la conjetura de Serre probablemente estaría equivocada hasta en una década. Pero la gente sabía (o creía saber, correctamente) que era sólo cuestión de tiempo.

Por el contrario, a pesar de la existencia de varios "programas" por parte de destacados matemáticos para demostrar la HR, si realmente se demostrara en, digamos, 2012, habría el equivalente matemático a una revuelta mundial. No está nada claro que podamos llegar a ese punto desde aquí: la mayor parte del trabajo que se ha realizado sobre la HR en los últimos 150 años ha llevado (sólo) a que tengamos un respeto convenientemente sano por el problema y su importancia en las matemáticas en su conjunto.

Dicho esto, creo que los enfoques de la SR no deben evaluarse en función de si es probable que culminen en una prueba de la SR --¿quién sabe? -- sino si son interesante y parece que puede dar lugar a matemáticas interesantes en el camino. A mucha gente parece gustarle el $\mathbb{F}_1$ enfoque por esta razón, como en la respuesta de Felipe. (Y de hecho, esta respuesta comenzó como un comentario a la suya).

Answer 3

Existe el enfoque de Deninger en el que se espera producir la función Zeta de Riemann a través de la traza de un endomorfismo de un grupo de cohomología de dimensión infinita, relacionado con los espacios foliados: Leer su propia cuenta o esto charla de Eric Leichtnam .

Es algo así como lo que llamas el enfoque geométrico en la pregunta, pero aderezado con sistemas dinámicos y foliaciones.

Answer 4

Creo que, tautológicamente, cualquier método que demuestre la Hipótesis de Riemann (o incluso que mejore seriamente nuestros conocimientos sobre los ceros) se convierte inmediatamente en "teoría de los números". Dicho esto, sé lo que quiere decir la pregunta: ¿hay una forma diminuta de ver la ecuación del calor, por ejemplo, que reduzca lo que tenemos que demostrar a alguna pieza matemática que esté al alcance?

Pues no lo sé, y hace décadas que no me planteo estas cosas en serio. Una vez pensé que la entropía topológica era un buen comienzo (y nunca escuché la pistola de arranque para eso).

Lo más esperanzador que he escuchado sobre esto recientemente ha sido el trabajo de Akiyama y Tanigawa (ver http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-227/S0025-5718-99-01051-0/ ) que inicia el proceso de conexión de Sato-Tate con RH. No conozco detalles, pero Sato-Tate se ha puesto al alcance de la mano. http://people.math.jussieu.fr/~harris/SatoTate/notes/equidistribution.pdf sabe mucho más de esto que yo, lo cual no sería difícil. Suponiendo que Sato-Tate tenga algún tipo de tracción en GRH, esto es esperanzador para mí no porque esto vaya a ser la respuesta, pero podría estar "a una idea realmente nueva" de la respuesta. La GRH va a encajar en la teoría general de las representaciones automórficas como lo ha hecho la conjetura de Artin durante muchos años (?!). Así que puede surgir una prueba condicional que sólo (?) depende de que algunas cosas de la teoría de Lie encajen combinatoria o funcionalmente como deberían (?). Es decir, demostramos RH para los racionales mediante la técnica de Harish-Chandra sobre la inducción sobre todos los grupos reductores y la forma en que encajan entre sí (?). A estas alturas ya se sabe a dónde va esto. La positividad de Weil derivada de las fórmulas explícitas no proviene suavemente del análisis armónico conmutativo, pero quizás haya un "secreto oculto" en el análisis armónico no conmutativo que sirva.

Answer 5

Esto está muy por debajo del nivel técnico de las respuestas que buscas y mereces (y que otros más entendidos sin duda aportarán), pero no me resisto a mencionar la idea de Freeman Dyson, que encontré en su artículo "Pájaros y ranas" en el Avisos de la Sociedad Matemática Americana [ 56 (2): 212-223, 2009]. Aquí se trata de un Entrada de Wikipedia :

"La hipótesis de Riemann implica que los ceros de la función zeta forman un cuasicristal, es decir, una distribución con soporte discreto cuya transformada de Fourier también tiene soporte discreto. Dyson sugirió intentar demostrar la hipótesis de Riemann clasificando, o al menos estudiando, los cuasicristales unidimensionales".

Actualización (9Nov12). Véase Nick S de los comentarios recientes de la Comisión.