Un subconjunto no vacío $H$ del grupo $G$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si ... (en "Topics in Algebra 2nd Edition" de I. N. Herstein)

Question

Estoy leyendo "Topics in Algebra 2nd Edition" de I. N. Herstein.
El siguiente lema se encuentra en este libro:

LEMA 2.4.1
Un subconjunto no vacío $H$ del grupo $G$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si

1. $a,b\in H$ implica que $ab\in H.$
2. $a\in H$ implica que $a^{-1}\in H.$

Prueba. Si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces es obvio que (1) y (2) deben cumplirse.

Sin duda, creo que es fácil demostrar que (2) debe sostenerse si $H$ es un subgrupo de $G$ .

Dejemos que $e_H$ sea un elemento de identidad de $H$ . $e_H$ es un elemento de $G$ . $e_H=e_G\cdot e_H=e_H\cdot e_H$ .
Así que, por derecho de cancelación en $G$ , $e_G=e_H$ . Sea $a_{H}^{-1}$ sea el elemento inverso de $a$ en $H$ . $a_{H}^{-1}$ es un elemento de $G$ . $a\cdot a_{G}^{-1}=e_G=e_H=a\cdot a_{H}^{-1}$ . Así, por la ley de cancelación de la izquierda en $G$ , $a_{G}^{-1}=a_{H}^{-1}$ .

Prueba de (2): Sea $a\in H$ . $a^{-1}=a_{G}^{-1}=a_{H}^{-1}\in H$ .

Sin duda, (2) era fácil de demostrar.
Pero, ¿es (2) realmente evidente?

Answer 1

$2$ es evidente sólo cuando $G$ es un grupo de orden finito. En caso contrario, hay que verificar $2$ y hay $H\subset G$ que es cerrado pero no cerrado bajo la inversa.

Considera, $G=(\Bbb{Z}, +)$ et $H=\{0, 1,2,...\}$