Productos de cabeza blanca en los colectores

Question

¿Cuáles son algunos buenos ejemplos de variedades simplemente conectadas con interesantes álgebras de Lie de Whitehead sobre R? La mayoría de los colectores en los que uno piensa si es bastante ingenuo no son tan interesantes: los grupos de Lie tienen álgebras de Whitehead abelianas y los espacios homogéneos no tienen estructura de producto superior.

Answer 1

Supongo que con el álgebra de Lie de Whitehead te refieres al álgebra de Lie del grupo de homotopía $\pi_*(\Omega X)\simeq \pi_{*-1}(X)$ tal vez tensado por los reales $R$ . En ese caso hay un teorema de Felix-Halperin-THomas, llamado teorema de la dicotomía que te dice que o bien esta álgebra de Lie es de dimensión finita (y se dice que el espacio es "elíptico"), o bien es muy grande en el sentido de que los rangos de $\pi_k(X)$ crece exponencialmente con k (y el espacio se llama entonces "hiperbólico"). Si la característica de Euler de la variedad es negativa, entonces el espacio es siempre hiperbólico/ Además, cuando el espacio es hiperbólico, el álgebra de Lie de Whitehead está muy lejos de ser abeliana: en realidad su radical es de dimensión finita. Por lo tanto, cualquier colector con característica de Euler negativa tiene un álgebra de Lie homotópica no abeliana de dimensión infinita.

Para generalizar lo que dice Ryan, en realidad cualquier suma conectada de dos variedades simplemente conectadas $M$ y $N$ es hiperbólico a menos que la cohomología de ambos $M$ y $N$ son álgebras polinómicas truncadas sobre un único genrator (como la esfera o $CP(n)$ ). En particular, la suma conectada de 3 o más variedades cerradas que no tienen el tipo de homotopía racional de una esfera es hiperbólica.

Otro ejemplo de álgebra de Lie de Whitehead no abeliana, pero de dimensión finita, es la asociada a una variedad $M$ obtenido como un $S^5$ -unión con la base $S^3\times S^3$ y donde la clase de euler del haz es la clase fundamental de la base (o cualquier múltiplo no nulo de ella). En ese caso el álgebra de Lie racional de Whitehead $\pi_*(M)\otimes Q$ es de dimensión $3$ con base $x,y,[x,y]$ donde $x$ y $y$ están en grado $3$ y $[x,y]$ está en grado $5$ . Por lo tanto, esta colmena M es elíptica. Curiosamente, el álgebra de cohomología de M es isomorfa a la de la suma conectada $W$ de dos copias de $S^3\times S^8$ pero $W$ es hiperbólico.