¿Los polinomios son densos en $C^k\left(\bar{B}\right)$ ?

Question

Dejemos que $\bar{B}$ sea la bola unitaria cerrada en $\mathbb{R}^n$ , $C^k\left(\bar{B}\right)$ el espacio de Banach de toda función real definida en $\bar{B}$ con derivadas continuas hasta el orden $k$ con la norma $$\Vert f \Vert = \sum_{h\le k} \Vert \partial_{i_1}\dots \partial_{i_h}f\Vert_\infty$$ ¿Los polinomios son densos en $C^k\left(\bar{B}\right)$ ?
¿Puede darme referencias sobre ese tema?
Muchas gracias...

Answer 1

Por Stone-Weierstrass, los polinomios son densos en $C(\overline{B})$ . Haz el resto por inducción: si los polinomios son densos en $C^{k-1}$ escriba una función en $C^k$ en términos de integrales de sus derivadas parciales, y aproximar esas derivadas parciales mediante polinomios...