¿El conjunto de conmutadores de matrices forma un subespacio?

Question

El siguiente es un problema interesante de Álgebra Lineal 2da Ed - Hoffman & Kunze (3.5 Q17).

Dejemos que $W$ sea el subespacio atravesado por los conmutadores de $M_{n\times n}\left(F\right)$ : $$C=\left[A, B\right] = AB-BA$$ Demostrar que $W$ es exactamente el subespacio de las matrices con traza cero.

Suponiendo que esto sea cierto, se puede construir $n^2 - 1$ matrices linealmente independientes, en particular $$[e_{i,n}, e_{n,i}]\ \text{for $ 1\le i\le n-1 $}$$ $$[e_{i,n}, e_{j,n}]\ \text{for $ i\neq j $}$$ donde $e_{i,j}$ son la base estándar con $0$ entrada en todas partes excepto en la fila $i$ columna $j$ que abarcan el espacio de las matrices sin trazos.

Sin embargo, me cuesta demostrar (o más bien, creer, ya que este hecho parece estar dado) que el conjunto de conmutadores forma un subespacio. En particular, me cuesta demostrar que el conjunto es cerrado bajo la adición. ¿Alguien puede arrojar algo de luz?

Answer 1

Si el campo de tierra $\mathbb{F}$ es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ A continuación se ofrece una prueba elemental. Es evidente que todo conmutador tiene traza cero, por lo que basta con demostrar que toda matriz real o compleja con traza cero es un conmutador. En primer lugar, toda matriz sin traza es $\mathbb{F}$ -similar a una matriz con diagonal cero (demostraremos esta afirmación más adelante). Por lo tanto, WLOG podemos suponer que $C$ tiene una diagonal cero. Tomemos $A$ como una matriz diagonal arbitraria $\mathrm{diag}(a_1,\ldots,a_n)$ con entradas diagonales reales y distintas. La ecuación $C=AB-BA$ entonces se reduce a $(a_i-a_j)b_{ij}=c_{ij}$ que se puede resolver como $b_{ij}=c_{ij}/(a_i-a_j)$ . QED

Ahora demostramos nuestra afirmación de que cualquier matriz sin trazos $C$ es $\mathbb{F}$ -similar a una matriz con diagonal cero cuando $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . En el caso real, como $C$ no tiene trazos, si tiene algunas entradas diagonales no nulas, algunas dos de ellas deben tener signos diferentes. WLOG supone que son $c_{11}$ y $c_{22}$ . Tenga en cuenta que $$ \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c_{11}\cos^2\theta-(c_{12}+c_{21})\sin\theta\cos\theta+c_{22}\sin^2\theta&\ \ast\\ \ast&\ \ast\end{pmatrix}. $$ Desde $c_{11}$ y $c_{22}$ tienen signos diferentes, $c_{11}\cos^2\theta-(c_{12}+c_{21})\sin\theta\cos\theta+c_{22}\sin^2\theta=0$ es siempre solucionable sobre $\mathbb{R}$ . Ahora pasamos al caso complejo. Por triangulación unitaria, podemos suponer que $C$ es triangular superior. Como $C$ no tiene trazos, si tiene algunas entradas diagonales no nulas, algunas dos de ellas deben ser distintas. De nuevo, supongamos que son $c_{11}$ y $c_{22}$ . Realice la diagonalización en el bloque principal de 2 por 2 de $C$ podemos reducirlo aún más a un bloque diagonal de 2 por 2. Ahora tenemos $$ \frac{1}{1+z^2}\begin{pmatrix}1&-z\\ z&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_{11}&0\\0&c_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&z\\-z&1\end{pmatrix} =\frac{1}{1+z^2}\begin{pmatrix}c_{11}+c_{22}z^2&\ \ast\\ \ast&\ \ast\end{pmatrix}. $$ Como $c_{11}$ y $c_{22}$ son distintos y no nulos, $c_{11}+c_{22}z^2=0$ es siempre solucionable para algún $z\in\mathbb{C}$ con $z^2\not=-1$ . Por lo tanto, tanto en el caso real como en el complejo, el $(1,1)$ -a entrada de $C$ puede hacerse cero mediante una determinada transformación de similitud. Continúe de esta manera recursivamente para las submatrices principales finales de $C$ obtenemos una matriz con diagonal cero.

Después de la nota: La demostración anterior ha hecho uso de muchas propiedades de las matrices sobre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ Por lo tanto, no estoy seguro de si la idea de la prueba es aplicable cuando el campo de tierra es diferente. Si no es así, es evidente que algunas personas encontrarán la prueba insatisfactoria porque no revela la verdadero razón por la que el conjunto de conmutadores es un subespacio matricial. Esto recuerda al Teorema de Cayley-Hamilton para matrices reales, para el que podemos incrustar el campo de tierra en $\mathbb{C}$ y demostrar el teorema fácilmente para aquellas matrices unitariamente diagonalizables primero, y luego utilizar un argumento de continuidad para terminar la demostración. Los algebristas suelen considerar esta demostración como insatisfactoria, pero los que trabajan principalmente en $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ puede tener una opinión diferente. En cualquier caso, la siguiente referencia contiene una demostración relativamente corta (que llena dos páginas y media) de la afirmación de que toda matriz sin trazas sobre un campo general es un conmutador:

A.A. Albert y Benjamin Muckenhoupt (1957), " Sobre las matrices de ceros de traza ". Matemáticas de Michigan. J. , 4(1):1-3.

Answer 2

El conjunto de conmutadores de matrices es, de hecho, un subespacio, ya que todo conmutador tiene traza cero (bastante fácil de demostrar) y toda matriz con traza cero es un conmutador (declarado aquí pero no conozco ninguna prueba elemental), y el conjunto de matrices sin trazas es claramente cerrado bajo combinaciones lineales.

Sin embargo, el problema es hablar del subespacio se extendió por el conjunto de conmutadores matriciales, es decir, el conjunto de combinaciones lineales de conmutadores matriciales. Este es, por definición, un subespacio. Esto se debe probablemente a que la prueba de que toda matriz con traza cero es un conmutador es difícil (aunque no estoy seguro de que este sea el caso).

Espero que esto aclare un poco las cosas. Si no, ¡pregúntanos!