Estratificaciones de Whitney

Question

Muchos resultados sobre las clases características de las variedades singulares (así como otras construcciones teóricas de la singularidad) hacen uso de la llamada "estratificación de Whitney" de la variedad considerada, que, según tengo entendido, es una filtración de la variedad en subvariedades suaves localmente cerradas sujetas a algunas condiciones técnicas (las condiciones técnicas pueden encontrarse aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_conditions ). Sin embargo, aparte de leer las definiciones básicas de estas condiciones técnicas, nunca he visto que se utilicen explícitamente. Además, nunca he visto un ejemplo concreto de estratificación de Whitney. Por lo tanto, una aclaración de las condiciones técnicas y por qué son útiles junto con un ejemplo concreto de una estratificación de Whitney (tal vez digamos un paraguas de Whitney) sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Yo mismo luché con las condiciones de Whitney. Más concretamente, quería entender la geométrico importancia de estas condiciones. Aparentemente Whitney buscaba una forma sencilla de caracterizar equisingularidad a lo largo de un componente conectado del estrato la estratificación parece lo mismo . Técnicamente las condiciones de Whitney son local condiciones que garanticen una deseable global propiedad de la estratificación: equisingularidad normal.

Esto resultó ser un problema difícil, resuelto por primera vez por R. Thom, pero el primer relato que pude entender sería el de J. Mather.

Puede leer más sobre esto en la sección 4.2 de mi libro Una invitación a la teoría Morse , 2do. edición. En ella se encuentran imágenes, ejemplos y las consecuencias geométricas básicas de las condiciones de Whitney, incluida la equisuración normal. Todo ello en 12 páginas y sin pruebas técnicas, aunque con referencias bastante generosas.

Puede encontrar un precursor (menos eficiente) de la sección 4.2 aquí.

Actualización En la sección 4.3 del mismo libro demuestro que la estratificación de una variedad compacta por las variedades inestables de un flujo de gradiente es Whitney si el flujo satisface las condiciones de transversalidad de Smale. En particular, la estratificación de Schubert de los grassmanianos es Whitney. Para más ejemplos me remito al capítulo 7 de este documento .

Answer 2

He aquí un ejemplo:

Dejemos que $V = \lbrace y^2 = t^2 x^2 + x^3\rbrace \subset \mathbb R^3$ . Entonces el conjunto singular de $V$ es todo el $t$ -eje.

Dejemos que $Y$ sea el $t$ -eje y $X = V - Y$ .

Ahora, ponte $X_1 = X \cap \lbrace x > 0 \rbrace$ ,

$X_2 = X \cap \lbrace x < 0 \rbrace \cap \lbrace t>0 \rbrace$ y

$X_3 = X \cap \lbrace x < 0 \rbrace \cap \lbrace t<0 \rbrace$ .

Me gustaría poder hacer dibujos pero no sé cómo hacerlo aquí. Sin embargo, es bastante fácil.

Fíjate en eso, $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ y $Y$ son submanifolds lisos de $\mathbb R^3$ son disjuntos, y su unión es $V$ . Así, hemos estratificado $V$ en submanifolds.

Ahora puede comprobar que esta estratificación de $V$ es un $(a)$ -Estratificación regular. Sin embargo, no es una $(b)$ -Estratificación regular (Whitney). Verificar que $X_2$ y $X_3$ no son $(b)$ -regular sobre $Y$ .

Dejemos que $Z$ sea el origen y $W = Y - Z$ . Ahora, $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , $W$ y $Z$ son submanifolds lisos y disjuntos de $\mathbb R^3$ y su unión es $V$ . Esta estratificación es $(b)$ -regular o lo que se llama una estratificación de Whitney de $V$ .

Espero que el ejemplo ayude a visualizar $(a)$ -regular y $(b)$ -estratificaciones regulares.

Puedes leer "Notas sobre la estabilidad topológica" de Mather para conocer las propiedades de las condiciones de Whitney (sí, está publicado ahora después de más de 40 años).

http://www.ams.org/journals/bull/2012-49-04/S0273-0979-2012-01383-6/S0273-0979-2012-01383-6.pdf

Otra buena referencia es la tesis doctoral de David Trotman titulada "Estratificaciones de Whitney: fallos y detectores".