Dado un grupo finito $G$ de orden $n\geq 2$ obviamente tiene un conjunto generador mínimo (un conjunto generador de cardinalidad mínima) digamos de cardinalidad $m$ . Quiero saber si se puede hacer un enlace para $m$ puede establecerse. Me hice esta pregunta después de ver un problema que pedía demostrar que $$|\text{End}(G)|\leq\sqrt[p]{n^n}$$ Dónde terminar $(G)$ es el conjunto de endomorfismos de $G$ y $p$ es el mayor divisor primo de $n$ . Dado el hecho de que un endomorfismo estaría determinado unívocamente por sus valores en los elementos de un conjunto generador de $G$ ese problema se resolvería demostrando que $$m\leq \frac{n}{p}$$ que es una idea para un posible límite. (No estoy buscando otra solución al problema anterior, sólo lo mencioné porque me dio una idea para un límite)
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Dejemos que $m$ sea el cardinal de un subconjunto generador mínimo en un grupo de orden $n\ge 2$ y $p$ el mínimo divisor primo de $n$ .
Si $n$ es primo, entonces $m=1=n/p$ .
Si $n$ no es primo, entonces $n/p\ge\sqrt{n}$ y también $n\ge 4$ , lo que implica $\log_2(n)\le\sqrt{n}$ . Combinado con la desigualdad mencionada por Derek Holt, se deduce $m\le\log_2(n)\le\sqrt{n}\le n/p$ .
