cómo calcular $\lim_n \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{[\frac{n}{2}]} \cos (\frac{k \pi}{n})$ ?

Question

Cómo puedo calcular el siguiente límite $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{\lbrack \frac{n}{2}\rbrack} \cos (\frac{k \pi}{n})$$
He intentado resolver el problema considerando dos casos, primero tomando n es par y luego tomando n como entero impar.
Cuando n es par, el límite se transforma en $$\lim_{2n \to \infty} \frac{1}{2n} \sum_{k=1}^{n} \cos (\frac{k \pi}{2n})=\frac{1}{2}\int_0^1 \cos(\frac{\pi x}{2}) \,dx=\frac1\pi$$
Pero cuando n es impar entonces el límite se transforma en $$\lim_{2n+1 \to \infty} \frac{1}{2n+1} \sum_{k=1}^{n} \cos (\frac{k \pi}{2n+1})$$
que no puedo convertir en suma de Riemann. Por favor, ayuda, si puedo convertirlo a Riemann-suma o hay alguna otra manera de resolver este problema.

Answer 1

Ambos casos son sumas de Riemann para $$\int_0^{1/2}\cos(\pi\,x)\,dx=\frac{|}{\pi}.$$ Recuerda que en la suma de Riemann el punto de evaluación puede ser cualquier punto de un subintervalo de la partición, no necesariamente uno de los extremos.