morfismo etale finito entre curvas y grado

Question

Dejemos que $X, Y$ sean curvas (integrales, propias, de tipo finito) sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ y que $f:X \rightarrow Y$ sea un morfismo etale finito de grado $n$ .

Entonces, para un punto cerrado $P \in X$ y $Q = f(P) \in Y$ el mapa inducido $f^\# : O_{Y,Q} \rightarrow O_{X, P}$ es plano finito y $m_QO_ {X, P} = m_P$ .

Aquí, como un $O_{Y,Q}$ -módulo, $O_{X,P}$ es libre, y quiero concluir que el rango debe ser $n$ .

Sin embargo, $k$ es algebraicamente cerrado, $O_{X,P}/m_QO_{X,P} = O_{X,P}/m_P = k = O_{Y,Q}/m_Q$ Por lo tanto, el rango es de 1 a 2.

Estoy seguro de que he entendido algo mal, pero no consigo entenderlo. ¿Dónde me he equivocado?

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que es una buena idea mirar un libro que explique estas cosas como la geometría algebraica de Gortz, o cualquier libro de teoría algebraica de números. pero déjame intentar explicarte: sí $[f_* O_X: O_Y]=n$ pero no es igual a $[O_P:O_Q]$ porque $P$ no es el único punto de $X$ en $Q$ . si $f^{-1}(Q)=\{P_1,...,P_m\}$ entonces tienes $$n=[O_X:O_Y]=\sum [O_{P_i}:O_{Q}]$$ (en la teoría algebraica de los números se habla de lugares sobre un lugar dado, pero el lenguaje de los esquemas ofrece un marco único para ambos casos).

Ahora, cuando quieras estudiar $[O_P:O_Q]$ hay dos partes: una parte es $f_P=[O_P/m_P:O_Q:m_Q]$ , que siempre es 1 si se mira a los puntos cerrados de la curva sobre un campo algebraicamente cerrado. la otra parte es el índice de ramificaciones $e_P$ Es un poco más difícil de definir en general, pero si $Q$ es no singular, sólo hay que elegir un generador $t$ para $m_Q$ y definir $e_Q$ como el número entero tal que $t\in m_P^{e_Q}-m_P^{e_Q+1}$ . $e_Q$ es por definición 1 para los mapas etale, y se tiene $$[O_P:O_Q]=e_Pf_P$$ .

por lo tanto en tu situación, sólo significa que tienes exactamente $n$ punto sobre $Q$ (una cobertura de n capas en lenguaje clásico) por otro lado para el punto genérico $m=0$ se tiene una sola imagen inversa y por lo tanto $f_\eta=n$ .

ejercicio: calcular $e,f$ en diferentes puntos del mapa $P^1\to P^1$ que envía $[x,y]\to [x^2+y^2,y^2]$ .