Ejercicio 23 (i) del capítulo 3 del libro de álgebra conmutativa de Atiyah-Mcdonald

Question

Estoy tratando de resolver este punto de la pregunta 23:

23. Dejemos que $A$ sea un anillo, y que $X = \operatorname{Spec}(A)$ y que $U$ sea un conjunto abierto básico en $X$ (es decir, $U = X_f$ para algunos $f \in A$ : Capítulo 1, Ejercicio 17).
i) Si $U = X_f$ , demuestran que el anillo $A(U) = A_f$ depende sólo de $U$ y no en $f$ .

En otras palabras, tenemos que demostrar la gavilla $A$ está bien definida. Bueno, si $U=X_f=X_g$ debemos demostrar que $A_f\cong A_g$ . Estoy usando la asignación obvia $F:A_f\to A_g$ , $F(a/f^n)=a/g^n$ pero no he podido demostrar que este mapeo esté bien definido y que tampoco sea un homomorfismo con respecto a la suma (la parte multiplicativa es trivial).

Necesito ayuda.

Muchas gracias.

Answer 1

$X_f = X_g$ equivale a $r((f)) = r((g))$ (cap.1, exc.17iv, que es donde $X_f$ se define en Atiyah-Macdonald). Por lo tanto, $f^n = h g$ y $g^m = k f$ para algunos $n, m \in {\mathbb N}$ y algunos $h, k \in A$ .

Ahora, para simplificar, supongamos por el momento que $f$ y $g$ no son zerodivisores. En ese caso, $A_f$ y $A_g$ pueden considerarse subanillos del anillo total de fracciones.

Ahora $A_f$ contiene $1/g = h f^{-n}$ y $A_g$ contiene $1/f = k g^{-m}$ Así que $A_f = A_g$ . (Nota: son iguales si los consideras como subanillos del anillo total de fracciones, no sólo isomorfos).

En general, el razonamiento es el mismo, sólo se necesita una formulación más cuidadosa.

Escribe $i \colon A \to A_f$ y $j \colon A \to A_g$ para los mapas de localización. Porque $j(f)$ es invertible (con inversa $j(k) j(g)^{-m}$ ), por la propiedad universal de localización, existe un homomorfismo (único) $\phi \colon A_f \to A_g$ tal que $j = \phi \circ i$ . Del mismo modo, existe un homomorfismo (único) $\psi \colon A_g \to A_f$ con $i = \phi \circ j$ .

Ahora ambos $1_{A_f}$ y $\psi \circ \phi$ hacen que el diagrama exterior de arriba conmute (es decir, $i = (\psi \circ \phi) \circ i$ y $i = 1_{A_f} \circ i$ ). Por la propiedad universal de localización, existe un único dicho mapa; por lo tanto $\psi \circ \phi = 1_{A_f}$ . Asimismo, $\phi \circ \psi = 1_{A_g}$ .

Así que $\phi$ y $\psi$ son cada una de las inversas, lo que demuestra que $A_f \cong A_g$ .