¿Cómo proceder en este esquema de grupo? (Cálculos explícitos)

Question

Quiero ver si lo siguiente cumple con los requisitos de un esquema de grupo

El caso es que estoy teniendo problemas con el diagrama de elementos inversos con los cálculos explícitos de cada uno de los mapas, la siguiente es mi definición

Entonces, ¿cómo puedo proceder en la verificación de la conmutatividad?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Lo que el libro de tu primera imagen dice esencialmente es que como un afín $Spec(\mathbb{Z})$ -es sólo un objeto de grupo en la categoría de afines $Spec(\mathbb{Z})$ -y como esta categoría es antiequivalente a la categoría de $\mathbb{Z}$ -entonces un afín $Spec(\mathbb{Z})$ -es básicamente lo mismo que un cogrupo en la categoría de $\mathbb{Z}$ -algebras.

Así, para verificar los axiomas de grupo para $G$ Hay que "dualizarlos" en la categoría de $\mathbb{Z}$ -algebras. ¿Cuáles son los mapas correspondientes para todo en su diagrama?

• $\pi:G\to S$ corresponde al morfismo estructural $\varphi: \mathbb{Z}\to A$ ;

• $\varepsilon: S\to G$ corresponde a su país $\varepsilon^*: A\to \mathbb{Z}$ que es el mapa cero ;

• $m: G\times_S G\to G$ corresponde a su comulgación dada $m^*:A\to A\otimes_\mathbb{Z} A$ ;

• $1\times inv : G\times_S G\to G\times_S G$ corresponde a $Id\otimes inv^*: A\otimes_\mathbb{Z} A \to A\otimes_\mathbb{Z} A$ où $inv^*$ es su coinversión dada, que en realidad es la identidad ;

• $\Delta: G\to G\times_S G$ corresponde al mapa de multiplicación $\mu: A\otimes_\mathbb{Z} A\to A$ dado por $\mu(a\otimes b) = ab$ .

Ahora hay que comprobar que el diagrama de $\mathbb{Z}$ -que se obtiene sustituyendo todas las flechas por las anteriores (en particular, todas las flechas van en sentido inverso) conmuta; esto es sólo una verificación directa pasando por las definiciones de cada mapa.

Desde $A= \mathbb{Z}[X]/(X^2+2X)$ y tienes que comprobar $\varphi\circ \varepsilon^* = \mu\circ (Id\otimes inv^*)\circ m^*$ donde ambos mapas son $A\to A$ Sólo hay que comprobar que la imagen de $X$ es el mismo en ambos casos.

Pero $\varepsilon^*$ es el mapa cero, y $inv^*$ es la identidad, por lo que se traduce en $\mu\circ m^* = 0$ .

Ahora $\mu(m^*(X)) = \mu(1\otimes X + X\otimes 1 + X\otimes X) = 1\cdot X + X\cdot 1 + X\cdot X = X^2 + 2X = 0$ en $A$ precisamente por la definición de $A$ .