Elevar un número en forma rectangular

Question

¿Cuál es el valor de $(-2 + 3i\sqrt3)^6$ ?

La respuesta es $4096$

Convertir $(-2 + 3i\sqrt3)^6$ a la forma polar.

$${ (\sqrt{31} \angle 111.05)^6 }$$

Yo uso algo llamado Teorema de De Moivre

$${z^n = r^n( \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) ) }$$ $${z^n = (\sqrt{31})^6( \cos(6\cdot 111.05) + i\sin(6\cdot 111.05) ) }$$

Incluso si continuara con esto sé que no conseguiría una cosa de suma de números...

$${z^n = 29791( 0.5920 - 8.0593i ) }$$

$${z^n = 17636 + 240009i }$$

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

O bien la respuesta que te han dado es incorrecta, o bien has copiado mal el problema. Esto queda claro si simplemente cuadras el original en forma rectangular: $$(-2+3i\sqrt3)^2=-23-12i\sqrt3$$ Y seguir con la cubicación del número: $$(-23-12i\sqrt3)^3=-\left(12167+19044i\sqrt3-29808-5184i\sqrt3\right)=17641-13860i\sqrt3$$

Observa que la parte imaginaria no se cancela. Además, fíjate en que la parte real no se acerca a $4096$ .

Si quisieras un número que terminara en $4096$ querrás números de la forma: $$4e^{i\frac{k\pi}{3}}$$ para $k\in\{0,1,2,3,4,5\}$

Además, lo único que estás haciendo "mal" en tu trabajo es redondear demasiado pronto.

Answer 2

En primer lugar, sabemos lo siguiente:

$$a+bi=\left|a+bi\right|e^{\arg\left(a+bi\right)i}=\left|a+bi\right|\left(\cos\left(\arg\left(a+bi\right)\right)+\sin\left(\arg\left(a+bi\right)\right)i\right)$$

---

$$\left(-2+3i\sqrt{3}\right)^6=$$ $$\left(\left|-2+3i\sqrt{3}\right|e^{\arg\left(-2+3i\sqrt{3}\right)i}\right)^6=$$ $$\left(\sqrt{\Re\left(-2+3i\sqrt{3}\right)^2+\Im\left(-2+3i\sqrt{3}\right)^2}e^{\arg\left(-2+3i\sqrt{3}\right)i}\right)^6=$$ $$\left(\sqrt{(-2)^2+(3\sqrt{3})^2}e^{\arg\left(-2+3i\sqrt{3}\right)i}\right)^6=$$ $$\left(\sqrt{4+27}e^{\arg\left(-2+3i\sqrt{3}\right)i}\right)^6=$$ $$\left(\sqrt{31}e^{\arg\left(-2+3i\sqrt{3}\right)i}\right)^6=$$ $$\left(\sqrt{31}e^{\left(\pi-\tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right)i}\right)^6=$$ $$\sqrt{31}^6e^{6\left(\pi-\tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right)i}=$$ $$29791e^{\left(6\pi-6\tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right)i}$$

Así que en las tres formas obtenemos:

$$29791e^{\left(6\pi-6\tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right)i}=$$ $$29791\left(\cos\left(\left(6\pi-6\tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right)\right)+\sin\left(\left(6\pi-6\tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right)\right)i\right)=$$ $$29791\left(\frac{17641}{29791}-\frac{13860\sqrt{3}}{29791}i\right)=17641-13860\sqrt{3}i$$