Problema de álgebra de 8º grado que no puedo resolver

Question

No tengo ni idea de cómo solucionar esto. ¿Alguien podría echarme una mano? Gracias.

$$2x^{5a} + 6x^{3a} - x^{2a} - 3 = 0$$

PD: Supongo que esto no tiene sentido a menos que también sea "resolver para x" y la ecuación sea = 0, pero no estoy seguro de ello.

PPS: Mi intuición era sumar 3 a ambos lados, luego multiplicar ambos lados por x, y luego dividir por 3, pero no sabía por dónde seguir (o incluso si eso era correcto).

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Editar: Para que quede claro, yo no soy el octavo grado. Simplemente no puedo ayudarla, y agradecería la ayuda. Puedes ver mi perfil de desarrollador web en stackoverflow si necesitas pruebas: https://stackoverflow.com/users/174621/matrym

Answer 1

Supongo que la ecuación que has escrito es $2x^{5a} + 6x^{3a} - x^{2a} - 3 = 0$ y quieres resolverlo.

Dejemos que $y = x^a$ .

La ecuación se convierte en $2y^5 + 6y^3 - y^2 - 3 = 0$ . $$2y^5 + 6y^3 - y^2 - 3 = 2y^3 (y^2 + 3) - (y^2 + 3) = 0$$ $$(2y^3 - 1)(y^2 + 3) = 0$$

Resolver para $y$ .

Si sólo le interesan las soluciones reales, entonces $y = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .

Por lo tanto, $$x = \frac{1}{\sqrt[3a]{2}}$$

Si también le interesan las raíces complejas, entonces obtendrá $5$ soluciones para $y$ a saber, $$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{\omega}{\sqrt[3]{2}}, \frac{\omega^2}{\sqrt[3]{2}}, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$$

donde $\omega$ es la raíz cúbica compleja de la unidad y $i^2 = -1$ .

Llámalos $y_1,y_2,y_3,y_4$ y $y_5$ .

Entonces $$x = \zeta \sqrt[a]{y_i}$$ où $\zeta$ es uno de los $a$ raíces de $a^{th}$ raíces de la unidad y, por lo tanto, terminará con $5a$ raíces.

Answer 2

HINT $\ $ Es $\rm\ \ 2\ x^{2a}\ (x^{3a}+3) - (x^{3a} + 3)\:.\ $ Saca el factor obvio.

En general, se pueden aplicar ideas como la Prueba de la raíz racional para ayudar a encontrar dichos factores binomiales.