Determinar la representación matricial de un operador escrito como producto exterior

Question

Supongamos que $|v_{i} \rangle$ es una base ortonormal para un espacio de producto interno $V$ . ¿Cuál es la representación matricial del operador $|v_{j}\rangle \langle v_{k}|$ con respecto al $|v_{i}\rangle$ ¿base?

Se agradece cualquier ayuda con esto.

Answer 1

Tenemos que tomar $|v_j\rangle\langle v_k|$ , aplicarlo a un elemento de la base, escribirlo de nuevo como una combinación de la base, y poner los coeficientes en columnas. Es decir, la matriz $(a_{i\ell})$ que buscamos satisface $|v_j\rangle\langle v_k| (|v_\ell\rangle) = \sum_i a_{i\ell} |v_i\rangle$ . Tenemos $$|v_j\rangle\langle v_k|(|v_\ell\rangle) = \langle v_\ell|v_k\rangle\langle v_k| = \delta_{\ell k}\langle v_k| = \langle v_\ell| = \sum_i\delta_{i\ell}| v_i\rangle,$$ por lo que la matriz es la identidad. Por eso, en general:

• tienen $(f\otimes v)(w) = f(w)v$ ;
• identificar $V^*\cong V$ utilizando el producto interior.
• puede ver este operador como $|v_j\rangle\otimes \langle v_k|$ .