Una integral sobre un cubo unitario de n dimensiones

Question

Intento calcular lo siguiente $\text{n}$ -integral de la dimensión:

$$ \int_{[0, 1]^n} (1+ \sum_{k=1}^{n} x_k^{2}) ^ {- {{n+3}\over{2}}} \ \mathrm dx_{1}\mathrm dx_2 ... dx_n $$

donde ${[0, 1]^n}$ es un $\text{n}$ -cúbico unitario.

¿Existe una forma cerrada para esta integral?

Gracias.

Answer 1

Esta es la solución para otra integral ( $\int_{[0, 1]^n} (1+ \sum_{k=1}^{n} x_k^{2}) ^ {- {{n+1}\over{2}}} \ \mathrm dx_{1}\mathrm dx_2 ... dx_n$ ), pero también puede ser de interés.

Denotamos $\displaystyle I(n)=\int_{[0,1]^{n-1}}\frac{1}{(1+{x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_{n-1}}^2)^{n/2}}dx_1…dx_{n-1}\tag*{}$

Consideremos el espacio de $n$ dimensiones; radio-vector $\vec R=x_1 \vec {e_1}+…+x_n \vec {e_n}$ ,

y $R=\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_{n}}^2}$ - su norma. También denotamos $\vec \eta=\frac{\vec R}{R}$ y el campo $\vec F$ $\displaystyle\vec F(\vec R)=-\frac{1}{n-2}\vec\nabla\frac{1}{R^{n-2}}=\frac{\vec \eta}{R^{n-1}}\tag*{}$ Consideremos el flujo del vector $\vec F(\vec R)$ a través de alguna hipersuperficie cerrada que rodea la fuente (el origen): $\displaystyle J_n=\int(\vec F(\vec R),d\vec S)=-\frac{1}{n-2}\int(\vec\nabla\frac{1}{R^{n-2}},d\vec S)\tag*{}$ Según el teorema de Gauss, $\displaystyle J_n=-\frac{1}{n-2}\int\Delta\frac{1}{R^{n-2}}\,dV\tag*{}$ - la integral sobre el volumen dentro de la superficie ( $\Delta$ denota el laplaciano).

Pero $\frac{1}{R^{n-2}}$ es la solución fundamental de la ecuación de Laplace en $n$ dimensiones (por ejemplo, mire aquí problema de cálculo con la transformada de Fourier inversa ). $\displaystyle \Delta\frac{1}{R^{n-2}}=-\frac{2(n-2)\pi^{n/2}}{\Gamma\big(n/2\big)}\delta^n (\vec R)\tag*{}$ Función delta integradora $\displaystyle J_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma\big(n/2\big)}\tag*{}$

Vemos que el flujo total a través de cualquier hipersuperficie cerrada es constante (no depende de $R$ ). Por lo tanto, podemos elegir como superficie el hipercubo que rodea el origen, con una longitud de arista igual a 2. Hay $2n$ caras iguales, y el flujo a través de una cara del cubo es $ \int_{\text{one face}}(\vec F(\vec R),d\vec S)=\int_{\text{one face}}\frac{(\vec n, d\vec S)}{R^{n-1}}=\int_{\text{one face}}\frac{dS}{R^n}$ . (Hacer un dibujo ayuda mucho). El volumen total de una $(n-1)$ -(con una longitud de arista igual a 2) es $|[-1;1]|^{n-1}=2^{n-1}$ pero queremos encontrar sólo una parte del flujo - a través del volumen $|[0;1]|^{n-1}$ . Por lo tanto, la integral deseada $I(n)$ es la parte del flujo total que atraviesa la superficie cerrada: $I(n)=\frac{1}{2n} \frac{1}{2^{n-1}}J_n$ (el flujo total pasa por $2n$ caras, y nuestra integral es igual al flujo a través de $\frac{1}{2^{n-1}}$ parte de una cara). Tomando todo junto $\displaystyle I(n)=\int_{[0,1]^{n-1}}\frac{1}{(1+{x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_{n-1}}^2)^{n/2}}dx_1 … dx_{n-1}\tag*{}$

$\displaystyle=\frac{1}{2n\,2^{n-1}}\,\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma\big(n/2\big)}=\frac{(\sqrt\pi)^n}{2^n\Gamma\Big(\frac{n}{2}+1\Big)}\tag*{}$ Para $n=3$ y $n=4$ obtenemos $\displaystyle I(3)=\int_{[0,1]^2}\frac{1}{(1+x^2+y^2)^{3/2}}dx\,dy=\frac{\pi}{6}\tag*{}$ $\displaystyle I(4)=\int_{[0,1]^3}\frac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}dx\,dy\,dz=\frac{\pi^2}{32}\tag*{}$

Answer 2

Empezar por $\int_0^\infty \lambda^{(n+1)\over 2} e^{-\lambda x}d\lambda= x^{-{(n+3)\over 2}} \int_0^\infty u^{(n+3)\over 2}e^{-u}du$

A continuación, sustituya $e^{-\lambda x}$ con $e^{-\lambda (1+\sum x^2_k)}$

¿Puedes seguir a partir de ahí?