¿Quién demostró por primera vez que el valor de C/d es independiente de la elección del círculo?

Question

Tengo una pregunta elemental sobre la historia de $\pi$ . Pensé que la respuesta sería fácil de encontrar. Pero, por el contrario, después de buscar bastante y de consultar a historiadores de las matemáticas, no he podido encontrar una respuesta satisfactoria.

¿Quién fue el primero? probado que $C/d$ es independiente de la elección del círculo ( $C$ y $d$ son la circunferencia y el diámetro, respectivamente)?

O lo que es lo mismo:

Quien demostró por primera vez que dados dos círculos con circunferencias $C_1$ y $C_2$ y diámetros $d_1$ y $d_2$ que $C_1/C_2=d_1/d_2$ ? (O, como imagino que lo habría escrito Euclides: las circunferencias de los círculos son entre sí como sus diámetros).

La mayoría de los relatos sobre la historia de $\pi$ pasan mucho tiempo hablando de que este hecho se "conoce" desde hace mucho tiempo (dando aproximaciones egipcias, babilónicas, bíblicas, etc. al valor). Pero nunca dicen quién lo demostró por primera vez. Yo esperaba que estuviera en la obra de Euclides Elementos pero me sorprendió descubrir que no lo es. ¿Puedo entender que eso significa que no se ha demostrado para entonces? Me sorprendería mucho que la prueba fuera conocida por Euclides y que no la hubiera incluido en Elementos.

Nota: Euclides contiene la proposición de Eudoxus de que $A_1/A_2=d_1^2/d_2^2$ , donde el $A_i$ son las áreas de los dos círculos ( Elementos XII.2: Los círculos son entre sí como los cuadrados en sus diámetros). Esto implica que el valor de $A/d^2$ es independiente de la elección del círculo.

Si avanzamos unos años desde Euclides nos encontramos con el hecho de que $C/d$ es una constante dada implícitamente en el Medición del círculo . En primer lugar, encuentra límites para $C/d$ (siendo entre $223/71$ y $22/7$ ). Así que presumiblemente sabía que era una constante. Pero además, de su resultado se deduce lógicamente que $A=rC/2$ , donde $r$ es el radio del círculo (Arquímedes dice que el área de un círculo es igual al área de un triángulo con altura $r$ y la base $C$ ): si tomamos la proposición de Eudoxus como si dijera $A=kd^2$ (para alguna constante $k$ ) y el resultado de Arquímedes como $A=dC/4$ y al igualarlas obtenemos $kd^2=dC/4$ o, por el contrario $C/d=4k$ (es decir, $k=\pi/4$ ).

Entonces, mi pregunta es: ¿quién fue el primero en demostrar este hecho? ¿Fue Arquímedes? He leído que la versión del Medición del círculo que tenemos puede ser sólo una parte de lo que Arquímedes escribió realmente. ¿Se conjetura que se demostró y se declaró explícitamente en la parte que falta de este documento?

Todo esto me parece muy misterioso. Me sorprendería un poco descubrir que la respuesta a esta pregunta se ha perdido en la historia, ya que se trata de un resultado matemático tan importante (pero tal vez sea así). Me sorprendería que hubiera que esperar hasta Arquímedes para obtener una prueba de esto; si se "conocía" empíricamente durante todo el periodo griego (que supongo que sí), uno se imaginaría que una prueba rigurosa sería muy buscada. Uno imagina que una prueba habría estado al alcance de Eudoxus. Finalmente, tanto si la respuesta a la pregunta es conocida como si no, me ha sorprendido mucho que nadie haya escrito sobre este hecho (o al menos no que yo haya encontrado).

Answer 1

Mi primera impresión al leer esta pregunta fue que más bien debería decir "quién fue el primero en demostrar que $C/d$ necesito pas ser una constante?" Antes de Gauss, Bolyai, Lobachevsky la linealidad y la invariabilidad de las transformaciones siempre se habían asumido como básicas para la geometría como $n + 1 = 1 + n$ en la aritmética. No es de extrañar que nadie en el antiguo Egipto, Babilonia, India o China se molestara en demostrar que $C/d$ es una constante para cada círculo o que $n + 1 = 1 + n$ para cada número natural.

Sin embargo, ya hacia el 430 a.C. Hipócrates de Quíos mencionó explícitamente por primera vez que los segmentos similares de los círculos están en la proporción de los cuadrados de sus bases y lo demostró demostrando que los cuadrados de los diámetros tienen la misma proporción que los círculos (enteros). Compárese el lunes de Hipócrates que hasta ahora forma parte del plan de estudios de las escuelas.

Lo sabemos por un comentario a la obra de Aristóteles Física , escrito por Simplicius que cita a Eudemus de Rodas (el alumno de Aristóteles que compiló el primer catálogo de matemáticos, no Eudemus de Chipre, que dio nombre a su famoso texto) como informando de esto en su perdido Historia de la geometría .

Answer 2

Creo que esto tiene que ver mucho con lo que se entiende por prueba. En particular, ¿cómo se define la arclitud de un círculo sin cálculo?

Para mí, parece difícil decir que alguien demostró $C/d$ es independiente de la elección del círculo antes de Newton y Leibniz. Sin embargo, una vez establecido el marco de integración, este hecho es una trivialidad, y no parece un gran avance en el momento en que se inventó el cálculo. El gran avance fue definir rigurosamente la longitud de un arco paramétrico.

Por supuesto, el famoso teorema de Arquímedes sobre la relación entre los volúmenes de una esfera y un cilindro circunscrito se demostró esencialmente utilizando la integración, aunque Arquímedes no tenía el marco de un límite para formular el argumento. Si te conformas con ese tipo de razonamiento, quizá la respuesta sea diferente.

Answer 3

¡Buena pregunta! Yo me preguntaba algo parecido. A mi modo de ver, Euclides demostró que A/r^2 era independiente de la elección del círculo. Arquímedes demostró que A = Cr/2. Tu proposición se deduce de la combinación de estos dos hechos. Esta es la primera prueba registrada de este hecho, ¡pero fue dividida en dos textos diferentes! Supongo que nadie pensó que valía la pena escribir un manuscrito para explicitar esta asociación, lo que explica por qué no hay ningún teorema que lo enuncie y, por tanto, ningún nombre unido a él.

Answer 4

La pregunta no tendría necesariamente sentido para los antiguos, sobre todo porque la noción antigua de número no era la misma que la nuestra. La pregunta no utiliza nunca la palabra "número real", pero sí expresiones como $C_1/C_2$ que un lector moderno entiende claramente que se refieren a operaciones en el sistema de números reales. Los antiguos no tenían un sistema numérico real.

Antes de Euclides, las nociones de medida nunca se formalizaron en el sentido de un sistema axiomático, por lo que en el contexto de, por ejemplo, el antiguo Egipto, no hay manera de decir lo que significaría proporcionar una prueba formal de tal afirmación. "Saber" $C_1:C_2::d_1:d_2$ es completamente diferente a demostrarlo. No tiene sentido decir que la prueba de este hecho se ha perdido en la noche de los tiempos, porque toda la idea de prueba en un sistema axiomático sólo se remonta a Euclides, y Euclides no se ha perdido en la noche de los tiempos. (Con Euclides me refiero a una determinada escuela de pensamiento, no al matemático individual).

La noción de medida de Euclides es que el número es proporción, y la medida es semejanza. Si digo: "Joe mide 1,80 metros", lo que significa es lo siguiente. Tengo el segmento de línea J que es la altura de Joe. Tengo el segmento de línea F que es mi pie estándar. En otro lugar tengo mi recta numérica, en la que tengo un segmento 1 que he señalado arbitrariamente, y un segmento 6 que he construido duplicando 1 veces adicionales para hacer un total de seis copias de él colocadas de extremo a extremo. La afirmación de que "Joe mide 1,80 metros" se traduce en que cuando superpongo F a J, obtengo una figura que es similar a aquella en la que 1 se superpone a 6.

Todo este sistema de asignación de números a las medidas sólo funciona si existe similitud y si las cifras pueden dilatarse arbitrariamente. Desde un punto de vista moderno, se desmorona si falla el postulado del paralelo, porque entonces resulta imposible dilatar arbitrariamente las figuras. Desde el punto de vista euclidiano, no es posible que $C_1:C_2::d_1:d_2$ fallar, porque eso es sólo una descripción de cómo hacemos las mediciones: la medición es la similitud. Pero es posible que todo el sistema métrico falle, lo que ocurre si falla el postulado del paralelo.

Answer 5

Esto es en respuesta a un comentario de @marksapir publicado recientemente en esta vieja discusión:

Sin el cálculo, ni siquiera se puede definir lo que $\pi r$ significa porque no se puede definir el producto de dos números reales (y mucho menos demostrar la conmutatividad y asociatividad de la operación producto).

Afirmo que a partir de lo que hizo Euclides se podría tener una teoría consistente de las "cantidades escalares" y demostrar esas cosas sin el Cálculo.

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Hay ciertas cosas llamadas magnitudes que se pueden comparar como $x_1 \lt x_2$ , si son magnitudes del mismo tipo y entonces podemos hablar incluso de ratios. He aquí algunos ejemplos:

• segmentos de línea
• ángulos
• arcos del mismo círculo o círculos congruentes (es decir, de igual radio).
• áreas planas

Hay un punto importante en el tercer punto. El sentimiento expresado por David E. Joyce en su debate sobre Euclides Libro 6 proposición 3 no es exclusivo de él:

En los Elementos, Euclides restringió su estudio de las longitudes de los arcos a círculos del mismo radio. No comparó arcos de círculos de distinto tamaño. tamaño de los círculos. Más tarde, sin embargo, Arquímedes hizo precisamente eso en su Medición de un círculo.

Parte de esa proposición es que en los diagramas de abajo, si $AB=DE$ (radios iguales) entonces

arco $AC$ :arco $DF$ :: ángulo $ABC$ ::ángulo $DEF$

es decir, si el arco $AC=m$ (arco) $DF$ ) entonces el ángulo $ABC=m$ (ángulo $DEF$ )

También (estoy seguro) la zona roja es $m$ veces la zona verde. (Me he deslizado sobre algo aquí que voy a llegar a).

Por otro lado. Supongamos ángulos iguales pero radios variables. Dado el ángulo $ABC=$ ángulo $GHI$ y $GH=2AB$ Euclides estaría de acuerdo en que el área azul es $4$ veces la zona roja (y más generalmente : Si $GH=nAB$ que la zona azul es $n^2$ veces la zona roja).

Supongamos que intentamos convencer a un geómetra griego de la época de que también arco $GI=2$ arco $AB.$ Imagino que diría "tengo un trozo de cuerda, sé lo que quieres decir, pero eso no tiene sentido matemático". Esa es mi imaginación, pero como señala Joyce, Euclides nunca se entretiene con teoremas como ese.

Lo que he omitido es que Euclides estaba de acuerdo con $x=my$ para $m$ un número entero (diciendo $y$ medidas $x$ ) que sigue no es históricamente rigurosa, pero creo que es fiel al espíritu de Euclides. Él nunca habría dicho o pensado estas cosas, pero creo que estaría de acuerdo si las oyera. Afirmo que dado un segmento $u$ llamada la unidad, entonces a puede definirse como un segmento.

Sabemos para las magnitudes del mismo tipo lo que $x=y$ y $x<y$ y $x+y=z$ medio. También $x=2y$ y $px=qy$ para números enteros positivos $p,q.$ Como en el ejemplo anterior, también podemos hablar de $x:y=S:T$ cuando $x,y$ son de tipo 1 y $S,T$ son ambos del tipo 2. Euclides nunca sustituye $x:y=S:T$ con $S=mT$ donde $x=my.$

De todos modos, diré salvajemente que Euclides habría estado de acuerdo: Restringamos a las magnitudes la extensión de los segmentos de línea. Entonces cada par ordenado de segmentos $x,y$ define un r número $m=x:y$ con $x=my$ . Sabemos cómo entender $x:y=s:t$ pero qué es esto $m?$ Tome un intervalo unitario arbitrario pero fijo $u$ y decir que $x:y=m$ significa $x:y=m:u$ . Entonces podemos definir $m_1m_2=n_1n_2$ utilizando áreas de rectángulos. $m_1m_2=m_2m_1$ es entonces fácil y $(m_1m_2)m_3=m_1(m_2m_3)$ tiene sentido incluso sin el cálculo.

Ahora bien, lo que no hace este planteamiento es responder a la pregunta "¿podemos tener siempre números enteros $p,q$ con $qx=py?$ "

Una debilidad más relevante es ésta: Dados dos discos $D_1,D_2$ o radios $r_1,r_2$ y cuadrados $S_1,S_2$ cuyos lados son $r_1,r_2$ Creo que el área $(D_1)$ :área $(S_1)$ = área $(D_2)$ :área $(S_2)$ está bien. Llamaríamos a esa proporción $\pi.$ SIN EMBARGO encontrar un segmento de línea $s$ para que $s:u=\pi$ sería un problema. E incluso si lo permitiéramos, comparar $2\pi r_1$ a la circunferencia de $C_1$ es un fracaso. No son comparables.