Tengo una pregunta elemental sobre la historia de $\pi$ . Pensé que la respuesta sería fácil de encontrar. Pero, por el contrario, después de buscar bastante y de consultar a historiadores de las matemáticas, no he podido encontrar una respuesta satisfactoria.
¿Quién fue el primero? probado que $C/d$ es independiente de la elección del círculo ( $C$ y $d$ son la circunferencia y el diámetro, respectivamente)?
O lo que es lo mismo:
Quien demostró por primera vez que dados dos círculos con circunferencias $C_1$ y $C_2$ y diámetros $d_1$ y $d_2$ que $C_1/C_2=d_1/d_2$ ? (O, como imagino que lo habría escrito Euclides: las circunferencias de los círculos son entre sí como sus diámetros).
La mayoría de los relatos sobre la historia de $\pi$ pasan mucho tiempo hablando de que este hecho se "conoce" desde hace mucho tiempo (dando aproximaciones egipcias, babilónicas, bíblicas, etc. al valor). Pero nunca dicen quién lo demostró por primera vez. Yo esperaba que estuviera en la obra de Euclides Elementos pero me sorprendió descubrir que no lo es. ¿Puedo entender que eso significa que no se ha demostrado para entonces? Me sorprendería mucho que la prueba fuera conocida por Euclides y que no la hubiera incluido en Elementos.
Nota: Euclides contiene la proposición de Eudoxus de que $A_1/A_2=d_1^2/d_2^2$ , donde el $A_i$ son las áreas de los dos círculos ( Elementos XII.2: Los círculos son entre sí como los cuadrados en sus diámetros). Esto implica que el valor de $A/d^2$ es independiente de la elección del círculo.
Si avanzamos unos años desde Euclides nos encontramos con el hecho de que $C/d$ es una constante dada implícitamente en el Medición del círculo . En primer lugar, encuentra límites para $C/d$ (siendo entre $223/71$ y $22/7$ ). Así que presumiblemente sabía que era una constante. Pero además, de su resultado se deduce lógicamente que $A=rC/2$ , donde $r$ es el radio del círculo (Arquímedes dice que el área de un círculo es igual al área de un triángulo con altura $r$ y la base $C$ ): si tomamos la proposición de Eudoxus como si dijera $A=kd^2$ (para alguna constante $k$ ) y el resultado de Arquímedes como $A=dC/4$ y al igualarlas obtenemos $kd^2=dC/4$ o, por el contrario $C/d=4k$ (es decir, $k=\pi/4$ ).
Entonces, mi pregunta es: ¿quién fue el primero en demostrar este hecho? ¿Fue Arquímedes? He leído que la versión del Medición del círculo que tenemos puede ser sólo una parte de lo que Arquímedes escribió realmente. ¿Se conjetura que se demostró y se declaró explícitamente en la parte que falta de este documento?
Todo esto me parece muy misterioso. Me sorprendería un poco descubrir que la respuesta a esta pregunta se ha perdido en la historia, ya que se trata de un resultado matemático tan importante (pero tal vez sea así). Me sorprendería que hubiera que esperar hasta Arquímedes para obtener una prueba de esto; si se "conocía" empíricamente durante todo el periodo griego (que supongo que sí), uno se imaginaría que una prueba rigurosa sería muy buscada. Uno imagina que una prueba habría estado al alcance de Eudoxus. Finalmente, tanto si la respuesta a la pregunta es conocida como si no, me ha sorprendido mucho que nadie haya escrito sobre este hecho (o al menos no que yo haya encontrado).
