¿Existen siempre números enteros $\beta_2$ , $\beta_3$ tal que $\{a, \beta_2 + \omega_2, \beta_3 + \omega_3 \}$ es una base integral para el ideal $(a, \alpha )$ de un campo cúbico

Question

Dejemos que $K$ sea una extensión cúbica de los números racionales de discriminante $D$ y $\{ 1, \omega_2, \omega_3 \}$ sea una base integral para el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ de $K$ . Sea $\alpha \in \mathcal{O}_K$ sea primitivo de modo que ningún primo racional divida a $\alpha$ y que la norma de $\alpha$ sea igual a $a^3$ con $a \in \mathbb{Z}$ y suponer que $a$ es primordial para $D$ .

Pregunta: ¿Existen siempre enteros racionales $\beta_2$ , $\beta_3$ tal que $$\{ a, \beta_2 + \omega_2, \beta_3 + \omega_3 \}$$ es una base integral para el ideal $(a, \alpha )$ ? Incluso cuando $\gcd (disc.(\alpha ), a ) \not= 1$ ?

Answer 1

Si lo he entendido bien, la respuesta es no. Si un ideal $I$ tiene una base de la forma deseada, entonces claramente cualquier elemento del anillo de enteros es congruente con un entero racional módulo $I$ . Pero esto implica que $I$ es un producto de ideales de grado de inercia $1$ .

Por lo tanto, si $\alpha$ es el cubo de un ideal de grado $2$ no puede existir tal base.