Cono convexo cerrado - equivalencia de la definición vía cierre y vía sumas infinitas

Question

Tengo un conjunto $P$ de puntos en un espacio de Banach. Consideremos los dos conos siguientes:

• El cierre del conjunto de todas las combinaciones lineales (finitas) no negativas de $P$ . (Es decir, el cierre topológico de $\{\sum_{i=1}^n a_ip_i: a_i\geq0, p_i\in P\}$ .)
• El conjunto de todas las combinaciones lineales infinitas no negativas de $P$ . (Es decir, $\{\sum_i a_ip_i: a_i\geq0, p_i\in P\}$ donde $i$ puede abarcar infinitos conjuntos, y sólo consideramos las sumas que convergen absolutamente).

¿Son esos conjuntos iguales?

Answer 1

La respuesta a su pregunta es "No" (pero el primer conjunto, obviamente, siempre contiene el segundo).

Ejemplo que muestra que el segundo conjunto puede ser estrictamente menor: Denotemos por $\{e_n\}$ la base vectorial unitaria en $\ell_1$ y considerar el siguiente conjunto $P:=\{e_1+\frac1ne_n\}_{n=2}^\infty$ en $\ell_1$ . Está claro que $e_1$ está en el primer conjunto, pero no en el segundo.