Convergencia uniforme de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n x) \sin(n^2 x)}{n+x^2}$

Question

No estoy seguro de si o no de la suma siguiente manera uniforme convergen en $\mathbb{R}$ :

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n x) \sin(n^2 x)}{n+x^2}$$

Alguien me puede ayudar con esto? (No se pueden utilizar de Dirichlet", porque una de las áreas donde $x$ es cercano a los $0$)

Answer 1

La serie no converge uniformemente. Para la prueba, poner $S_n(x) = \sum_{k = 0}^n \sin{(kx)}\sin{(k^2 x)}$ para $n\geq 0$. La idea general es utilizar la sumación por partes para reducir a nosotros mismos para mostrar que $S_n(x)$ es limitada de manera uniforme y, a continuación, para demostrar que, al darle una forma cerrada para $S_n(x)$.

En primer lugar, la suma por partes (escribo de $S_n$ en lugar de $S_n(x)$ para mayor brevedad): $$ \begin{align} \sum_{n = 1}^N{\sin{(nx)}\sin{(n^2 x)}\over n + x^2} & = \sum_{n = 1}^N {1\over n+x^2}(S_n - S_{n-1}) \\ & = \sum_{n = 1}^N {S_n\más de n+x^2} - \sum_{n = 1}^N {S_{n-1}\over n+x^2} \\ & = \sum_{n = 1}^N {S_n\más de n+x^2} - \sum_{n = 0}^{N-1} {S_{n}\over n+1+x^2} \\ Y = {S_N\más de N+x^2} - {S_0\más de 1 + x^2} + \sum_{n = 1}^{N-1} S_n\left({1\over n+x^2} - {1\over n+1+x^2}\right) \\ Y = {S_N\más de N+x^2} + \sum_{n = 1}^{N-1} {S_n\(n+x^2)(n+1+x^2)}. \end{align} $$ A partir de aquí queda claro que no es suficiente para probar que $S_n = S_n(x)$ es uniformemente acotada en $x$.

Para ello, tenga en cuenta que $$ \begin{align} 2\sin{(kx)}\sin{(k^2 x)} &= \cos{\{(k^2 - k)x\}} - \cos{\{(k^2 + k)x\}} \\ & = \cos{\{k(k - 1)x\}} - \cos{\{(k+1)k)x\}}, \end{align} $$ y, por tanto, que $$ \begin{align} 2S_n(x) & = \sum_{k = 0}^n 2\sin{(kx)}\sin{(k^2 x)} \\ & = \sum_{k = 0}^n\left(\cos{\{k(k - 1)x\}} - \cos{\{(k+1)k)x\}}\right) \end{align} $$ La última suma de los telescopios, y nos quedamos con $$ 2S_n(x) = 1 - \cos{\{n(n+1)x\}}, $$ que es claramente delimitada de manera uniforme en $x$. Así que hemos terminado.