Encuentre la serie Laurent para $\frac{\cos z}{z^2}$ centrado en $z=0$

Question

Primer intento:

La expansión de la serie de potencias para $\cos z$ es: $$f(z)=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}...$$

Dividiendo por $z^2$ da:

$$f(z) = \frac{1}{z^2}-\frac{1}{2!}+\frac{z^2}{4!}-\frac{z^4}{6!}+...$$

$$f(z) = \frac{1}{z^2}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}z^{2n}}{(2n+2)!}$$

Pero aquí es donde me quedo atascado.

Segundo intento:

Utilizando la representación en serie de la potencia para $\cos z$ podemos representar todo esto como:

$$\frac{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}}{z^2}$$

Pero entonces, ¿cómo se relaciona esto con la búsqueda de la serie Laurent?

Answer 1

Estás a un paso de la respuesta correcta. En tu primer intento te equivocaste de signo. Sin embargo, el segundo es correcto. Lo siguiente se basa en tu segundo intento: $$ \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=-1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}z^{2n}}{(2n+2)!} $$ Se puede desglosar en la parte pricipal y la parte holomórfica: $$ = \frac{1}{z^2} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}z^{2n}}{(2n+2)!} $$ No olvides que la serie Laurent es único .

Answer 2

$$\begin{align} \frac1{z^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n-2}}{(2n)!}\\\\ &=\sum_{n=-1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}z^{2n}}{(2n+2)!}\\\\ &=\frac1{z^2}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}z^{2n}}{(2n+2)!} \end{align}$$