Destinado a $\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{3n\choose k}{n\choose k}$ .

Question

En el libro Análisis complejo por Bak J. y Newman J. En el capítulo 11, se habla de Sumas con coeficientes binomiales y encontrar un límite $\frac{16}{9}\sqrt{3}$ para $|(z-1)^2(z+1)|$ en el "Ejemplo 3" sobre el círculo de la unidad, mi manera era utilizar multiplicadores de lagrange de esta forma:

Queremos encontrar $\max{|(z-1)^2(z+1)|}$ ahnd tener eso $|z-1|^2+|z+1|^2=4$ . Sea $a=|z-1|$ y $b=|z+1|$ y luego el ejercicio es: "Maximizar $f(a,b)=a^2b$ con sujeción a $a^2+b^2=4$ " entonces $\nabla f=\lambda\nabla g$ así que $\begin{cases}2ab=\lambda(2a)\\a^2=\lambda(2b)\end{cases}$ es decir, $ab=\lambda a$ si $a(b-\lambda)=0$ por lo tanto

i) $a=0$ o $b=\lambda$ , $b^2=4$ entonces $b=2$ entonces $|z+1|=2$ o $|z-1|=0$ entonces $z=1$ y $a^2b=0$ .

ii) $b=\lambda$ , $a^2=2b^2$ entonces $4=a^2+b^2=3b^2$ entonces $b^2=4/3$ entonces $b=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ entonces $a^2=\frac{8}{3}$ entonces $a=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Así que $a^2b=\frac{8}{3}\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{16}{9}\sqrt{3}$ .

Después quiero usar esta idea para el ejercicio 17.b con $\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{3n\choose k}{n\choose k}$ pero, no veo lo que debería ser $a$ y $b$ .

Editar: este ejercicio dice que $|\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{3n\choose k}{n\choose k}|\leq4^n$ .

Answer 1

Utilizando la notación "coeficiente de", tenemos $$S_n:=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{3n}{k}\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}[z^k](1-z)^{3n}\times[z^{n-k}](1+z)^n=[z^n]\big((1-z)^3(1+z)\big)^n.$$ Dejemos que $f(z)=(1-z)^3(1+z)/z$ entonces, por la fórmula integral de Cauchy, para cualquier $r>0$ tenemos $$S_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|z|=r}\big(f(z)\big)^n\frac{dz}{z}\implies|S_n|\leqslant\Big(\max_{|z|=r}\big|f(z)\big|\Big)^n.$$ La clave de la solución es elegir $\color{blue}{r=1/\sqrt{3}}$ (esto lo sugieren los puntos de silla de montar de $\big|f(z)\big|$ es decir, las soluciones $z=(-1\pm\mathrm{i}\sqrt{2})/3$ de $f'(z)=0$ ; alternativamente, podemos dejar que $r$ sea arbitraria, y minimizar el resultado con respecto a $r$ al final). Utilizando $|1+z|^2+|1-z|^2=2(1+|z|^2)$ de nuevo, llegamos a $$\text{maximize}\quad a^3 b\quad\text{subject to}\quad a^2+b^2=8/3.$$ Resolviéndolo de la manera que usted sabe, encontramos $a^2=2$ , $b^2=2/3$ , $a^3 b=4/\sqrt{3}$ y $\color{blue}{\max\limits_{|z|=r}\big|f(z)\big|=4}$ .

Answer 2

El primer término de la expansión asintótica se desprende del análisis dado por 'Asymptotics of a Family of Binomial Sums' de R. Noble. Poniendo esto en forma de comparación se obtiene

$$\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{3n}{k} \binom{n}{k} \sim (-4)^n \frac{2^{1/4}}{\sqrt{\pi n}} \cos(n \tan^{-1}(10\sqrt{2}/23) + \tan^{-1}((1-\sqrt{2})/(1+\sqrt{2}))$$

Esto no es un límite, por supuesto. Sin embargo, cuando $n$ es lo suficientemente grande,

$$\Big|\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{3n}{k} \binom{n}{k} \Big| < C\frac{4^n}{\sqrt{n}}.$$ Es $C=2^{1/4}/\sqrt{\pi} \approx 0.671$ ? Comprobación a través de $n=1000$ dice que sí. Para ser rigurosos hay que generar el siguiente término de la expansión asintótica.

Para comparar la fórmula asintótica y la exacta: n=200, verdadero=-1,2130 x $10^{119},$ appx=-1,2145 x $10^{119},$ y el porcentaje absoluto de error entre ellos es del 0,12%.