Encuentre el PDF de $Z = X + Y$ , donde $X$ y $Y$ son variables aleatorias exponenciales independientes con parámetro común $\lambda$ .
Mi enfoque
No quiero utilizar la fórmula de convolución.
La densidad de probabilidad conjunta, $ f_{X,Y}(x,y) = \lambda e^{-\lambda x} \lambda e^{-\lambda y}$ .
La FCD de $Z$ , $F_{Z}(z) = \mathbf{P}(Z \leq z) = \mathbf{P}(X + Y \leq z) = \int\limits_{0}^{z}\int\limits_{0}^{z-x}f_{X,Y}(x,y)dydx = \int\limits_{0}^{z} \lambda e^{-\lambda x}\int\limits_{0}^{z-x}\lambda e^{-\lambda y}dydx =\int\limits_{0}^{z} \lambda e^{-\lambda x}(1 - e^{-\lambda(z-x)})dx$ .
Claramente, esto no concuerda con la fórmula de convolución. ¿Dónde está mi error?