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Convolución de variables exponenciales independientes

Encuentre el PDF de $Z = X + Y$ , donde $X$ y $Y$ son variables aleatorias exponenciales independientes con parámetro común $\lambda$ .

Mi enfoque

No quiero utilizar la fórmula de convolución.

La densidad de probabilidad conjunta, $ f_{X,Y}(x,y) = \lambda e^{-\lambda x} \lambda e^{-\lambda y}$ .

La FCD de $Z$ , $F_{Z}(z) = \mathbf{P}(Z \leq z) = \mathbf{P}(X + Y \leq z) = \int\limits_{0}^{z}\int\limits_{0}^{z-x}f_{X,Y}(x,y)dydx = \int\limits_{0}^{z} \lambda e^{-\lambda x}\int\limits_{0}^{z-x}\lambda e^{-\lambda y}dydx =\int\limits_{0}^{z} \lambda e^{-\lambda x}(1 - e^{-\lambda(z-x)})dx$ .

Claramente, esto no concuerda con la fórmula de convolución. ¿Dónde está mi error?

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pete Puntos 1

Usted es muy cerrar. Persevera en el ejercicio:

$$\int_{0}^{z}\lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda(z-x)})dx=\int_{0}^{z}\lambda e^{-\lambda x}dx-\int_{0}^{z}\lambda e^{-\lambda z}dx=\int_{0}^{z}\lambda e^{-\lambda x}dx-z\lambda e^{-\lambda z}$$

Para encontrar la PDF tomamos la derivada con respecto a $z$ y llegar a:

$$\lambda e^{-\lambda z}-(\lambda e^{-\lambda z}-z\lambda^{2}e^{-\lambda z})=z\lambda^{2}e^{-\lambda z}$$

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par Puntos 4359

Sólo hay que utilizar la transformación $X=U-V$ y $Y=V$ y encontrar el pdf conjunto de $U$ y $V$ $$f_{U,V}(u,v)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda(u-v)}.\lambda e^{-\lambda v}.1&\text{if $0<u-v<\infty\,\,\,\,$ $0<v<\infty\;\;$ $0<u<\infty$}\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$ sólo integrar con respecto a $v$ no obtener el pdf de $U$ es decir $$f_U(u)=\int_{0}^u\lambda^2e^{-\lambda u}dv\,\,\,\,\,\,\,,0<u<\infty$$ Así se obtiene $$f_U(u)=\lambda^2ue^{-\lambda u}\,\,\,\,\,\,\,\,0<u<\infty$$

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Pierpaolo Vivo Puntos 861

$$ F_Z(z)=\int_0^z dz'f_Z(z')=\lambda^2\int_0^z dz'\int_0^\infty dx \int_0^\infty dy e^{-\lambda (x+y)}\delta(z'-(x+y)) $$ $$ \lambda^2\int_0^z dz'\int_0^\infty dy e^{-\lambda z'}\Theta(z'-y)=\lambda^2 \int_0^z dz' e^{-\lambda z'}\int_0^{z'}dy=\lambda^2\int_0^z dz' e^{-\lambda z'}z'=1-e^{-\lambda z} (\lambda z+1)\ , $$ donde $\Theta(x)$ es la función escalonada de Heaviside, y $z\geq 0$ . Esto concuerda perfectamente con su fórmula final. No veo ningún error.

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