Campo de división de $X^3+X+1$ y $X^3-3$

Question

Dejemos que $f=X^3-3\in\mathbb{Z}$ . Supongamos que $E_f/k$ es una extensión, donde $k$ es un campo. Quiero encontrar $E_f$ tal que $f$ se descompone en $E_f[X]$ y $E_f=k[a_1,...,a_n]$ , donde $a_1,...,a_n$ son las raíces de $f\in E[X]$ .

• ¿Cómo debo abordar si $k=\mathbb{Q}$ ? Las raíces de $f$ en $\mathbb{C}$ son $\sqrt[3]{3},-\frac{\sqrt[3]{3}}{2}+i\frac{3^{\frac{5}{5}}}{2},-\frac{\sqrt[3]{3}}{2}-i\frac{3^{\frac{5}{5}}}{2}$ . Y así, puedo tomar $E_f=\mathbb{Q}\left[\sqrt[3]{3},-\frac{\sqrt[3]{3}}{2}+i\frac{3^{\frac{5}{5}}}{2},-\frac{\sqrt[3]{3}}{2}-i\frac{3^{\frac{5}{5}}}{2}\right]$ ¿correcto?

• Si $k=\mathbb{F}_3$ Puedo tomar $E_f=\mathbb{F}_3$ porque $f$ se convierte en $X^3$ y ya se ha factorizado. ¿Es esto correcto?

• Si $k=\mathbb{F}_5$ Entonces no sé cómo proceder.

Pero si, por ejemplo, $k=\mathbb{F}_2$ y $f=X^3+X+1$ , entonces tomo $\alpha=X+(f(X))\in\mathbb{F}_2[X]/(f(X))$ . Y así, $\mathbb{F}_2(\alpha)$ es un campo, $\alpha^3=X+1$ y $f=(X+\alpha)(X^2+aX+b)$ . Me parece que $a=\alpha, b=1+\alpha$ . Enumero los elementos $c\alpha^2+d\alpha +e$ de $\mathbb{F}_2(\alpha)$ ( $c,d,e\in\mathbb{F}_2$ ) porque sólo son $8$ . Por último, observo que $\alpha^2,1+\alpha^2\in\mathbb{F}_2(\alpha)$ son raíces de $X^2+\alpha X+1+\alpha^2$ . Por lo tanto, $f$ se divide en $\mathbb{F}_2(\alpha)$ y tomo $E_f=\mathbb{F}_2(\alpha)$ .

Ahora bien, no creo que este método sea muy útil para el tercer ejemplo porque tendríamos que comprobar $5^3=125$ elementos de $\mathbb{F}_5(\alpha)$ . ¿Hay una forma más rápida de resolver esto?

Agradezco cualquier ayuda. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

3 ya tiene una raíz cúbica en $\mathbb{F}_5$ Así que $X^3 - 3$ se puede dividir por un polinomio lineal sobre $\mathbb{F}_5$ para dar un polinomio cuadrático, y luego sólo necesitas una extensión cuadrática para dividirlo.

Answer 2

Para $k$ un campo finito, el endomorfismo de Frobenius $Fr_p(x) = x^p$ es un automorfismo y es la identidad en $\mathbb{F}_p$ (Pequeño teorema de Fermat) por lo que está en $\text{Gal}(E_f/k)$ y por lo tanto permuta las raíces de $f$ .

Así que para $k = \mathbb{F}_2$ en su ejemplo $f(x) = x^3 + x +1$ , si $\alpha$ es una raíz, también lo es $Fr_2(\alpha) = \alpha^2$ y $Fr_2(\alpha^2) = \alpha^4 = \alpha(\alpha+1) = \alpha^2 + \alpha$ .

Puede utilizarlo para generar otras raíces de $f(x)$ en $\mathbb{F}_p$ para $p=3, 5$ ¡también!