Procesos de Markov y $C_0$ -semigrupos

Question

Un proceso de Markov $(X_t)_{t \geq 0}$ en tiempo continuo en $\mathbb{R}^d$ puede describirse mediante un semigrupo de Núcleos de Markov $(p_t(x,A))_{t \geq 0}$ con $p_0(x,A) = 1_{A}(x)$ y que cumplen con el Ecuación de Chapman-Kolmogorov .

Se puede definir el operador $$P_t f (x) := \mathbb{E}^x[f(X_t)] = \int_{\mathbb{R}^d} f(y) \, p_t(x,dy)$$ en $L^\infty$ (conjunto de todas las funciones acotadas y medibles) y entonces se deduce que $P_0 = Id$ y $P_t P_s = P_{t+s}$ aguantar.

Mi pregunta es si $(P_t)$ es un $C_0$ -semigrupo . En otras palabras, ¿se $$|| P_t f - f || \to 0 $$ para cualquier $f\in L^\infty$ cuando $t \to 0^+$ ¿tiene?

Answer 1

En general: no, $|| P_t f- f|| \to 0$ no es válida para todos los $f \in L^\infty$ y un semigrupo general $(P_t)_{t\geq 0}$ en el espacio de Banach $L^\infty$ .

Si, por ejemplo $P_t f(x) = f(x+ct)$ para algunos $c \neq 0$ , entonces si $\hat{x}$ es un punto de discontinuidad de $f$ aparecen problemas: $P_t f(\hat{x}) - f(\hat{x}) = f(\hat{x}+ct) - f(\hat{x})$ . Esto no convergerá a $0$ como $t\to 0$ . Así que la convergencia de las normas será aún más difícil.

A menudo se prefiere utilizar otros espacios de Banach que $L^\infty$ . Los ejemplos son $C_0(\mathbb{R}^d)$ , $C_b(\mathbb{R}^d)$ o también $L^2(\mathbb{R}^d)$ . Facilito el enlace a los dos primeros ejemplos: https://almostsure.wordpress.com/2010/07/14/feller-processes/ y la sección 6 en http://www.math.ist.utl.pt/~czaja/ISEM/internetseminar200607.pdf