¿Por qué tomamos la raíz cuadrada positiva sólo de $\sqrt{a^2-x^2}$ al integrar utilizando sustituciones trigonométricas?

Question

$$\int\frac{\mathrm dx}{x^2 \sqrt{16-x^2}}$$ al sustituir $\,x=4\sin\theta ,\;\mathrm dx=4\cos\theta\, \mathrm d\theta,\,$ se convierte en $$\int\frac{4\cos\theta\, \mathrm d\theta}{4^2\sin^2\theta\sqrt{16-4^2\sin^2\theta}}$$ entonces $$\frac{1}{4}\int\frac{\cos\theta \,\mathrm d\theta}{\sin^2\theta\times4\sqrt{1-\sin^2\theta}}$$ La pregunta es ¿por qué tomamos la raíz positiva de 16 y la sacamos? como $\sqrt{16} \;is \pm 4 $

Answer 1

Usted escribió que " $\sqrt{16}$ es $\pm4$ ". Esto es un error. Sí, el número $16$ tiene dos raíces cuadradas: $4$ y $-4$ . Pero $\sqrt{16}$ representa el no negativo raíz de $16$ que es $4$ . Por la misma razón, $\sqrt{16-4^2\sin^2\theta}=4\sqrt{1-\sin^2\theta}$ .

Answer 2

Con $x=4\sin\theta$ su integral se convierte en $\int\frac{4\cos\theta d\theta}{64\sin^2\theta|\cos\theta|}=\frac{1}{16}\int\frac{\operatorname{sgn}(\cos\theta)d\theta}{\sin^2\theta}$ con $\operatorname{sgn}y:=\frac{y}{|y|}$ . Por suerte, la elección de $\theta$ para obtener $\sin\theta=\frac{x}{4}$ nos permite elegir arbitrariamente si $\cos\theta$ es $\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}$ o $-\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}$ por lo que podemos elegir una constante $\operatorname{sgn}(\cos\theta)$ factor. Dado que $\sqrt{16-x^2}$ es real sólo si $|x|\le4$ la opción más conveniente es $\theta=\arcsin\frac{x}{4}\in\left[-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right]$ por lo que, en este medio período de $\theta$ , $\theta$ es una función monótona de $x$ con $\cos\theta\ge0$ .