cualquier fórmula general para $a^{1/2} + a^{1/3} + a^{1/4} + a^{1/5} + \cdots+ a^{1/n}$ ??

Question

Me encontré con una pregunta como: (si $a$ es un número entero)

cualquier fórmula general para

$$a^{1/2} + a^{1/3} + a^{1/4} + a^{1/5} + \cdots+ a^{1/n}\text{ ??} $$

si aN, cómo demostrar

$$a^{1/2} + a^{1/3} + a^{1/4} + a^{1/5} + +\cdots+ a^{1/n} < a^{2/3}\text{ ??} $$

o cómo probar

$$a^{1/2} + a^{1/3} + a^{1/4} + a^{1/5} + +\cdots+ a^{1/n} < a^{K/L}\text{ ??} $$

donde K<L; a, K y L son números enteros.

¿qué son K y L?

Gracias

Answer 1

Por lo tanto, primero hay que tener en cuenta (como se ha mencionado en múltiples comentarios) que $a^{1/n}\rightarrow 1$ para grandes $n$ por lo que las sumas parciales $a^{1/2}+a^{1/3}+\ldots+a^{1/n}$ van a ser como mínimo asintóticas a $n$ para grandes $n$ . (Es decir, ciertamente no están limitados por ninguna función de $a$ .). Pero se puede obtener una buena caracterización del comportamiento a partir de la siguiente expansión: $$ \sum_{k=2}^{n}a^{1/k}=\sum_{k=2}^{n}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(\log a)^i}{k^i i!}=\sum_{k=2}^{n}\left(1+\frac{\log a}{k}+\sum_{i=2}^{\infty}\frac{(\log a)^i}{k^i i!}\right)\\ =(n-1)+\left(H_n - 1\right)\log a+\sum_{i=2}^{n}\frac{(\log a)^i}{i!}\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^i}. $$ El primer término es $\Theta(n)$ el segundo es $\Theta(\log a \cdot \log n)$ y los términos restantes convergen a una función analítica de $\log a$ como $n\rightarrow\infty$ . En particular, tenemos $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=2}^{n}\frac{(\log a)^i}{i!}\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^i} =\sum_{i=2}^{\infty}\frac{\zeta(i)-1}{i!}(\log a)^i. $$ Los coeficientes van a cero al menos tan rápido como $1/(i!)$ , por lo que se trata de una función completa.

Answer 2

Si $a>1$ es un número real, entonces $a^x = f(x)$ está aumentando y

$$\begin{align} \sum^{n}_{i=2} a^{1/i} = & a^{1/2} + a^{1/3} + a^{1/4} + a^{1/5} +\cdots + a^{1/n} \\ \leq & (n-1)a^{1/2} \\ = & (n - 1) \ln(e^{a^{1/2}}) \\ \leq & e^{a^{1/2} (n- 1)} - 1 \end{align}$$ Eso era lo mejor que podía hacer por ahora.