Dada la ecuación funcional $f(x,y)=f(x,y+1)+f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y-1)$ , demuestran que $f(0,0)=0$

Question

Dejemos que $f:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ , tal que para todo $x,y$ $$f(x,y)=f(x,y+1)+f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y-1),$$ y si $m,n\in \mathbb{Z},mn\neq 0$ tenemos $f(2m,2n)=0$ .

Demostrar que $$f(0,0)=0.$$

Answer 1

Si esto es cierto, existe una prueba "finitaria", es decir, se pueden utilizar las relaciones para expresar $f(0,0)$ como una combinación lineal finita de los $f(2n,2m)$ .

En primer lugar, he aquí una forma de replantear el problema en términos sólo de entradas pares de $f$ es decir, cómo encontrar una relación entre $f(x,y),f(x+2,y),f(x,y+2),\ldots$

Considere $R = \Bbb R[X,X^{-1},Y,Y^{-1}]$ y que $P = (X+Y+X^{-1}+Y^{-1}-1)$ .

$R$ es el conjunto cuyos elementos son combinaciones lineales finitas de monomios de la forma $X^{\pm n} Y^{\pm m}$ y se puede reformular el objetivo preguntando si hay un elemento $Q \in R$ tal que $Q \times P$ tiene un coeficiente constante no nulo y cuyos otros coeficientes no nulos sólo se producen para los exponentes $(2n,2m)$ con un valor no nulo $nm$ .

Desde $Q \times P$ está en $\Bbb R(X^2,Y^2)$ es invariante por el grupo de Galois $G$ de $\Bbb R(X,Y)$ en $\Bbb R(X^2,Y^2)$ . $G$ tiene orden $4$ y está dada por los automorfismos $(X,Y) \mapsto (\pm X, \pm Y)$ .

Esto nos dice que $Q \times P$ tiene que ser de la forma $Q'(X^2,Y^2) \times P'(X^2,Y^2)$ donde $P'(X^2,Y^2) = Norm(P) = P(X,Y)P(-X,Y)P(X,-Y)P(-X,-Y) $

Puede calcular fácilmente $P'(X^2,Y^2) = (X^4 + Y^4 + X^{-4} + Y^{-4}) - 2(X^2Y^2 + X^2Y^{-2} + X^{-2}Y^{-2} + X^{-2}Y^2) - 2(X^2+Y^2+X^{-2}+Y^{-2}) -3$ .

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Así se obtienen las relaciones entre las entradas pares de $f$ y ahora con este nuevo polinomio, el problema se reduce a encontrar $Q'$ tal que $Q' \times P'$ tiene un coeficiente constante no nulo y un coeficiente nulo delante de $X^n$ y $Y^m$ .

Comience con $1 \times P'$ . Tiene un coeficiente constante no nulo (-3) por lo que sólo tenemos que "empujar" el $8$ coeficientes adicionales no nulos no deseados.

Para ello, añada primero $-\frac 29(X+Y+X^{-1}+Y^{-1}) \times P'$ . Esto debería hacer que el $4$ entradas cerca del coeficiente constante cero mientras se mantiene el coeficiente constante no cero (es $-11/9$ ).

A continuación, por razones de simetría se puede eliminar el $X^{\pm2},Y^{\pm2}$ coeficientes añadiendo un múltiplo adecuado de $(X^2Y^2+X^{-2}Y^{-2}) \times P'$ sin tocar la constante y los coeficientes vecinos.

Finalmente se pueden eliminar los restantes coeficientes no nulos de $X^n$ de uno en uno sumando múltiplos de $X^nY^2 \times P'$ y de forma similar para $Y^n$ .

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Al calcular el polinomio resultante se obtiene una relación explícita entre $f(0,0)$ y una combinación lineal finita de algunos $f(2n,2m)$ con $nm \neq 0$ según sea necesario.

Answer 2

Mi script GNU Maxima a continuación,

a) No se puede encontrar una solución única si su parámetro de tamaño $N$ satisface $N \le 6$ .

b) Es capaz de demostrar $f(0,0) = 0$ si su parámetro de tamaño $N$ satisface $N \ge 7$ .

c) Es capaz de demostrar $f(0,0) = 0$ si su parámetro de tamaño $N$ satisface $N \ge 3$

y se cambia la restricción de $(mn \neq 0)$ en $(m \neq 0 \vee n \neq 0)$ .

display2d : false;

/* variable construction */
my_v(f,m,n) := block(
    [res:[]],

    if (m < 0) and (n < 0) then block(
        res : concat(f,"m",-m,"m",-n)
    ),
    if (m < 0) and (n >= 0) then block(    
        res : concat(f,"m",-m,"p",+n)
    ),
    if (m >= 0) and (n < 0) then block(
        res : concat(f,"p",+m,"m",-n)
    ),
    if (m >= 0) and (n >= 0) then block(
        res : concat(f,"p",+m,"p",+n)
    ),

    return(res)
);

N : 7;
eqs : [];
for m : -N thru +N do block(
for n : -N thru +N do block(
    if (m*n # 0) then block(
        eqs : cons(my_v(f,2*m,2*n)=0,eqs)
    ),
    eqs : cons(my_v(f,m,n)
                = my_v(f,m,n-1) + my_v(f,m,n+1)
                    + my_v(f,m-1,n) + my_v(f,m+1,n), eqs)
));
print(eqs);
sols : algsys(eqs,listofvars(eqs));
s : sols[1];
for k thru length(s) do block(
    if listofvars(rhs(s[k])) = [] then block(
        print(k,"|",s[k])
    )
);

subst(s,fp0p0);

La desconexión de la generación de $f(2m,2n)=0$ en el script anterior y muchas eliminaciones de variables más tarde,

Tengo la siguiente ecuación destilada, todavía simétrica en los argumentos de f

$$ 46 f(+0,+0)\\ =\\ +13 f(-6,-2) -26 f(-4,-4) +13 f(-2,-6)\\ +13 f(+6,+2) -26 f(+4,+4) +13 f(+2,+6)\\ -6 f(-8,+2) -20 f(-4,-2) -20 f(-2,-4) -6 f(+2,-8)\\ -6 f(-2,+8) -20 f(+2,+4) -20 f(+4,+2) -6 f(+8,-2)\\ +24 f(-6,+2) +5 f(-2,-2) +24 f(+2,-6)\\ +24 f(-2,+6) +5 f(+2,+2) +24 f(+6,-2)\\ +6 f(-6,+4) +18 f(-4,+2) +18 f(-2,+4) +6 f(+4,-6)\\ +6 f(-4,+6) +18 f(+2,-4) +18 f(+4,-2) +6 f(+6,-4)\\ +34 f(-2,+2) +34 f(+2,-2). $$

del que se desprende el resultado. $\Box$

Así que esto fue de alguna manera una prueba algorítmica, la matemática sigue ahora.

La simetrización adicional de la última ecuación da como resultado $$ 92 f(+0,+0)\\ =\\ -6 f(+8,+2) +6 f(+6,+4) +6 f(+4,+6) -6 f(+2,+8)\\ -6 f(-8,-2) +6 f(-6,-4) +6 f(-4,-6) -6 f(-2,-8)\\ +37 f(+6,+2) -26 f(+4,+4) +37 f(+2,+6)\\ +37 f(-6,-2) -26 f(-4,-4) +37 f(-2,-6)\\ -6 f(+8,-2) -2 f(+4,+2) -2 f(+2,+4) -6 f(-2,+8)\\ -6 f(-8,+2) -2 f(-2,-4) -2 f(-4,-2) -6 f(+2,-8)\\ +37 f(+6,-2) +39 f(+2,+2) +37 f(-2,+6)\\ +37 f(+2,-6) +39 f(-2,-2) +37 f(-6,+2)\\ +6 f(+6,-4) -2 f(+4,-2) -2 f(-2,+4) +6 f(-4,+6)\\ +6 f(+4,-6) -2 f(+2,-4) -2 f(-4,+2) +6 f(-6,+4)\\ -26 f(+4,-4) +39 f(+2,-2) +39 f(-2,+2) -26 f(-4,+4). $$ Que se puede reordenar para $$ 92 f(+0,+0)\\ =\\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -6 f(8\sigma_x,2\sigma_y) +6 f(6\sigma_x,4\sigma_y) +6 f(4\sigma_x,6\sigma_y) -6 f(2\sigma_x,8\sigma_y)\\ +37 f(6\sigma_x,2\sigma_y) -26 f(4\sigma_x,4\sigma_y) +37 f(2\sigma_x,6\sigma_y)\\ -2 f(4\sigma_x,2\sigma_y) -2 f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +39 f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Esta será nuestra inspiración para la siguiente definición $$ I(a,b,c,d)\\ := \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -6 f(8\sigma_x,2\sigma_y) +6 f(6\sigma_x,4\sigma_y) +6 f(4\sigma_x,6\sigma_y) -6 f(2\sigma_x,8\sigma_y)\\ +(c+37) f(6\sigma_x,2\sigma_y) +(d-26) f(4\sigma_x,4\sigma_y) +(c+37) f(2\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(b-2) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b-2) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

En las siguientes páginas, estableceremos los parámetros $a,b,c,d$ según sea necesario.

Eliminando los términos de grado 10 se obtiene $$ I(a,b,c,d)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -6 f(7\sigma_x,2\sigma_y) +6 f(7\sigma_x,3\sigma_y) +6 f(7\sigma_x,1\sigma_y)\\ -6 f(2\sigma_x,7\sigma_y) +6 f(3\sigma_x,7\sigma_y) +6 f(1\sigma_x,7\sigma_y)\\ +6 f(6\sigma_x,4\sigma_y) +6 f(4\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(c+43) f(6\sigma_x,2\sigma_y) +(d-26) f(4\sigma_x,4\sigma_y) +(c+43) f(2\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(b-2) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b-2) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y))\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +6 f(6\sigma_x,3\sigma_y) -6 f(5\sigma_x,3\sigma_y)\\ +6 f(3\sigma_x,6\sigma_y) -6 f(3\sigma_x,5\sigma_y)\\ -6 f(7\sigma_x,2\sigma_y) +6 f(7\sigma_x,1\sigma_y)\\ -6 f(2\sigma_x,7\sigma_y) +6 f(1\sigma_x,7\sigma_y)\\ +(c+37) f(6\sigma_x,2\sigma_y) +(d-26) f(4\sigma_x,4\sigma_y) +(c+37) f(2\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(b-2) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b-2) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Eliminando los términos de grado 9 se obtiene $$ I(a,b,c,d)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +6 f(5\sigma_x,2\sigma_y) +6 f(6\sigma_x,1\sigma_y)\\ +6 f(2\sigma_x,5\sigma_y) +6 f(1\sigma_x,6\sigma_y)\\ +12 f(6\sigma_x,3\sigma_y) -6 f(5\sigma_x,3\sigma_y)\\ +12 f(3\sigma_x,6\sigma_y) -6 f(3\sigma_x,5\sigma_y)\\ +6 f(7\sigma_x,1\sigma_y) +6 f(1\sigma_x,7\sigma_y)\\ +(c+31) f(6\sigma_x,2\sigma_y) +(d-26) f(4\sigma_x,4\sigma_y) +(c+31) f(2\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(b-2) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b-2) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y))\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -12 f(4\sigma_x,3\sigma_y) -12 f(5\sigma_x,4\sigma_y)\\ -12 f(3\sigma_x,4\sigma_y) -12 f(4\sigma_x,5\sigma_y)\\ -6 f(5\sigma_x,2\sigma_y) +6 f(6\sigma_x,1\sigma_y)\\ -6 f(2\sigma_x,5\sigma_y) +6 f(1\sigma_x,6\sigma_y)\\ +6 f(5\sigma_x,3\sigma_y) +6 f(3\sigma_x,5\sigma_y)\\ +6 f(7\sigma_x,1\sigma_y) +6 f(1\sigma_x,7\sigma_y)\\ +(c+31) f(6\sigma_x,2\sigma_y) +(d-26) f(4\sigma_x,4\sigma_y) +(c+31) f(2\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(b-2) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b-2) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y))\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -6 f(5\sigma_x,2\sigma_y) +6 f(6\sigma_x,1\sigma_y)\\ -6 f(2\sigma_x,5\sigma_y) +6 f(1\sigma_x,6\sigma_y)\\ +6 f(5\sigma_x,3\sigma_y) +6 f(3\sigma_x,5\sigma_y)\\ +6 f(7\sigma_x,1\sigma_y) +6 f(1\sigma_x,7\sigma_y)\\ +(c+31) f(6\sigma_x,2\sigma_y) +(d-38) f(4\sigma_x,4\sigma_y) +(c+31) f(2\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(b-2) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b-2) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Ahora se trata de eliminar grado a grado hasta que no quede nada de grado positivo.

Eliminando los términos de grado 8 se obtiene $$ I(a,b,c,-2c)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -6 f(5\sigma_x,1\sigma_y) -6 f(6\sigma_x,0\sigma_y)\\ -6 f(1\sigma_x,5\sigma_y) -6 f(0\sigma_x,6\sigma_y)\\ -6 f(5\sigma_x,2\sigma_y) +12 f(6\sigma_x,1\sigma_y)\\ -6 f(2\sigma_x,5\sigma_y) +12 f(1\sigma_x,6\sigma_y)\\ +6 f(5\sigma_x,3\sigma_y) +6 f(3\sigma_x,5\sigma_y)\\ +(c+25) f(6\sigma_x,2\sigma_y) -(2c+38) f(4\sigma_x,4\sigma_y) +(c+25) f(2\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(b-2) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b-2) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y))\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -(c+31) f(5\sigma_x,1\sigma_y) -6 f(6\sigma_x,0\sigma_y)\\ -(c+31) f(1\sigma_x,5\sigma_y) -6 f(0\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(c+19) f(5\sigma_x,2\sigma_y) +12 f(6\sigma_x,1\sigma_y)\\ +(c+19) f(2\sigma_x,5\sigma_y) +12 f(1\sigma_x,6\sigma_y)\\ -(c+19) f(5\sigma_x,3\sigma_y) -(2c+38) f(4\sigma_x,4\sigma_y) -(c+19) f(3\sigma_x,5\sigma_y)\\ +(b-c-27) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b-c-27) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y))\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -(c+19) f(4\sigma_x,3\sigma_y) -(c+19) f(3\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(2c+38) f(3\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(c+31) f(5\sigma_x,1\sigma_y) -6 f(6\sigma_x,0\sigma_y)\\ -(c+31) f(1\sigma_x,5\sigma_y) -6 f(0\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(c+19) f(5\sigma_x,2\sigma_y) +12 f(6\sigma_x,1\sigma_y)\\ +(c+19) f(2\sigma_x,5\sigma_y) +12 f(1\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(b-8) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b-8) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Eliminando los términos de grado 7 se obtiene $$ I(a,b,c,-2c)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -12 f(4\sigma_x,1\sigma_y) -12 f(5\sigma_x,0\sigma_y)\\ -12 f(1\sigma_x,4\sigma_y) -12 f(0\sigma_x,5\sigma_y)\\ -(c+19) f(4\sigma_x,3\sigma_y) -(c+19) f(3\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(2c+38) f(3\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(c+19) f(5\sigma_x,1\sigma_y) -6 f(6\sigma_x,0\sigma_y)\\ -(c+19) f(1\sigma_x,5\sigma_y) -6 f(0\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(c+7) f(5\sigma_x,2\sigma_y) +(c+7) f(2\sigma_x,5\sigma_y)\\ +(b-8) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b-8) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y))\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -(c+7) f(3\sigma_x,2\sigma_y) -(c+7) f(2\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(c+19) f(4\sigma_x,1\sigma_y) -12 f(5\sigma_x,0\sigma_y)\\ -(c+19) f(1\sigma_x,4\sigma_y) -12 f(0\sigma_x,5\sigma_y)\\ -(2c+26) f(4\sigma_x,3\sigma_y) -(2c+26) f(3\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(2c+38) f(3\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(c+19) f(5\sigma_x,1\sigma_y) -6 f(6\sigma_x,0\sigma_y)\\ -(c+19) f(1\sigma_x,5\sigma_y) -6 f(0\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(b+c-1) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b+c-1) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y))\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +(c+19) f(3\sigma_x,2\sigma_y) +(c+19) f(2\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(c+19) f(4\sigma_x,1\sigma_y) -12 f(5\sigma_x,0\sigma_y)\\ -(c+19) f(1\sigma_x,4\sigma_y) -12 f(0\sigma_x,5\sigma_y)\\ +12 f(3\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(c+19) f(5\sigma_x,1\sigma_y) -6 f(6\sigma_x,0\sigma_y)\\ -(c+19) f(1\sigma_x,5\sigma_y) -6 f(0\sigma_x,6\sigma_y)\\ +(b+c-1) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b+c-1) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Necesitamos otro paso intermedio, que llamamos $(*)$ . Tenemos para $n\ge 3$ $$ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( f(0\sigma_x,n\sigma_y)+f(n\sigma_x,0\sigma_y) )\\ =\\ +f(-0,-n)+f(-0,+n)+f(+0,-n)+f(+0,+n)\\ +f(-n,-0)+f(-n,+0)+f(+n,-0)+f(+n,+0)\\ =\\ +2f(0,-n)+2f(0,+n)+2f(-n,0)+2f(+n,0)\\ =\\ +2f(0,-n+1)-2f(0,-n+2)-2f(-1,-n+1)-2f(+1,-n+1) +2f(0,+n-1)-2f(0,+n-2)-2f(-1,+n-1)-2f(+1,+n-1) +2f(-n+1,0)-2f(-n+2,0)-2f(-n+1,-1)-2f(-n+1,+1) +2f(+n-1,0)-2f(+n-2,0)-2f(+n-1,-1)-2f(+n-1,+1)\\ =\\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +f(0\sigma_x,(n-1)\sigma_y)+f((n-1)\sigma_x,0\sigma_y)\\ +f(0\sigma_x,(n-2)\sigma_y)+f((n-2)\sigma_x,0\sigma_y)\\ -2f(1\sigma_x,(n-1)\sigma_y)-2f((n-1)\sigma_x,1\sigma_y) ). $$

Con la ayuda de $(*)$ esto da $$ I(a,b,c,-2c)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -6 f(4\sigma_x,0\sigma_y) -6 f(0\sigma_x,4\sigma_y) +(c+19) f(3\sigma_x,2\sigma_y) +(c+19) f(2\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(c+19) f(4\sigma_x,1\sigma_y) -18 f(5\sigma_x,0\sigma_y)\\ -(c+19) f(1\sigma_x,4\sigma_y) -18 f(0\sigma_x,5\sigma_y)\\ +12 f(3\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(c+7) f(5\sigma_x,1\sigma_y) -(c+7) f(1\sigma_x,5\sigma_y)\\ +(b+c-1) f(4\sigma_x,2\sigma_y) +(b+c-1) f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Eliminando los términos de grado 6 se obtiene $$ I(a,-2c,c,-2c)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +(c+7) f(3\sigma_x,1\sigma_y) +(c+7) f(1\sigma_x,3\sigma_y)\\ +(c+1) f(4\sigma_x,0\sigma_y) +(c+1) f(0\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(c+19) f(3\sigma_x,2\sigma_y) +(c+19) f(2\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(2c+26) f(4\sigma_x,1\sigma_y) -18 f(5\sigma_x,0\sigma_y)\\ -(2c+26) f(1\sigma_x,4\sigma_y) -18 f(0\sigma_x,5\sigma_y)\\ +12 f(3\sigma_x,3\sigma_y)\\ +6 f(4\sigma_x,2\sigma_y) +6 f(2\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y))\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +(c+1) f(3\sigma_x,1\sigma_y) -12 f(2\sigma_x,2\sigma_y) +(c+1) f(1\sigma_x,3\sigma_y)\\ +(c+1) f(4\sigma_x,0\sigma_y) +(c+1) f(0\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(c+25) f(3\sigma_x,2\sigma_y) +(c+25) f(2\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(2c+26) f(4\sigma_x,1\sigma_y) -18 f(5\sigma_x,0\sigma_y)\\ -(2c+26) f(1\sigma_x,4\sigma_y) -18 f(0\sigma_x,5\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Con la ayuda de $(*)$ esto da $$ I(a,-2c,c,-2c)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -18 f(3\sigma_x,0\sigma_y) -18 f(0\sigma_x,3\sigma_y)\\ +(c+1) f(3\sigma_x,1\sigma_y) -12 f(2\sigma_x,2\sigma_y) +(c+1) f(1\sigma_x,3\sigma_y)\\ +(c-17) f(4\sigma_x,0\sigma_y) +(c-17) f(0\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(c+25) f(3\sigma_x,2\sigma_y) +(c+25) f(2\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(2c-10) f(4\sigma_x,1\sigma_y) -(2c-10) f(1\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Eliminando los términos de grado 5 se obtiene $$ I(a,-2c,c,-2c)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +(2c-10) f(2\sigma_x,1\sigma_y) +(2c-10) f(1\sigma_x,2\sigma_y)\\ +(2c-28) f(3\sigma_x,0\sigma_y) +(2c-28) f(0\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(c-11) f(3\sigma_x,1\sigma_y) -12 f(2\sigma_x,2\sigma_y) -(c-11) f(1\sigma_x,3\sigma_y)\\ +(c-17) f(4\sigma_x,0\sigma_y) +(c-17) f(0\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(3c+15) f(3\sigma_x,2\sigma_y) +(3c+15) f(2\sigma_x,3\sigma_y)\\ +(a+39) f(2\sigma_x,2\sigma_y))\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( -(c+25) f(2\sigma_x,1\sigma_y) -(c+25) f(1\sigma_x,2\sigma_y)\\ +(2c-28) f(3\sigma_x,0\sigma_y) +(2c-28) f(0\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(c-11) f(3\sigma_x,1\sigma_y) -(c-11) f(1\sigma_x,3\sigma_y)\\ +(c-17) f(4\sigma_x,0\sigma_y) +(c-17) f(0\sigma_x,4\sigma_y)\\ +(a+3c+42) f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Con la ayuda de $(*)$ esto da $$ I(a,-2c,c,-2c)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +(c-17) f(2\sigma_x,0\sigma_y) +(c-17) f(0\sigma_x,2\sigma_y)\\ -(c+25) f(2\sigma_x,1\sigma_y) -(c+25) f(1\sigma_x,2\sigma_y)\\ +(3c-45) f(3\sigma_x,0\sigma_y) +(3c-45) f(0\sigma_x,3\sigma_y)\\ -(3c-45) f(3\sigma_x,1\sigma_y) -(3c-45) f(1\sigma_x,3\sigma_y)\\ +(a+3c+42) f(2\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Eliminando los términos de grado 4 se obtiene $$ I(-9c+48,-2c,c,-2c)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +(4c-62) f(2\sigma_x,0\sigma_y) +(6c-90) f(1\sigma_x,1\sigma_y) +(4c-62) f(0\sigma_x,2\sigma_y)\\ -(4c-20) f(2\sigma_x,1\sigma_y) -(4c-20) f(1\sigma_x,2\sigma_y)\\ +(3c-45) f(3\sigma_x,0\sigma_y) +(3c-45) f(0\sigma_x,3\sigma_y)). $$

Con la ayuda de $(*)$ esto da $$ I(-9c+48,-2c,c,-2c)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +(3c-45) f(1\sigma_x,0\sigma_y) +(3c-45) f(0\sigma_x,1\sigma_y)\\ +(7c-107) f(2\sigma_x,0\sigma_y) +(6c-90) f(1\sigma_x,1\sigma_y) +(7c-107) f(0\sigma_x,2\sigma_y)\\ -(10c-110) f(2\sigma_x,1\sigma_y) -(10c-110) f(1\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Eliminando los términos de grado 3 se obtiene $$ I(-9c+48,-2c,c,-2c)\\ = \\ \sum_{\sigma_x,\,\sigma_y\in\{-1,+1\}} ( +(13c-155) f(1\sigma_x,0\sigma_y) +(13c-155) f(0\sigma_x,1\sigma_y)\\ +(7c-107) f(2\sigma_x,0\sigma_y) -(4c-20) f(1\sigma_x,1\sigma_y) +(7c-107) f(0\sigma_x,2\sigma_y)). $$

Estamos llegando al final de la prueba. Tenemos que eliminar el signo de la suma $$ I(-9c+48,-2c,c,-2c)\\ = \\ ( +(26c-310) f(+1,+0) +(26c-310) f(-1,+0)\\ +(26c-310) f(+0,+1) +(26c-310) f(+0,-1)\\ +(14c-214) f(+2,+0) +(14c-214) f(-2,+0)\\ -(4c-20) f(+1,+1) -(4c-20) f(+1,-1) -(4c-20) f(-1,+1) -(4c-20) f(-1,-1)\\ +(14c-214) f(+0,+2) +(14c-214) f(+0,-2)). $$

Utilizando la ecuación funcional del medio se obtiene $$ I(-9c+48,-2c,c,-2c)\\ = \\ ( +(14c-214) f(+2,+0) +(14c-214) f(-2,+0)\\ -(4c-20) f(+1,+1) -(4c-20) f(+1,-1) -(4c-20) f(-1,+1) -(4c-20) f(-1,-1)\\ +(14c-214) f(+0,+2) +(14c-214) f(+0,-2)\\ +(26c-310) f(+0,+0)). $$

Por otro lado tenemos $$ -3 x f(+0,+0)\\ =\\ -4 x f(+0,+0) + x f(+0,+0)\\ =\\ -4 x f(+0,+0)\\ + x f(+2,+0) + x f(-2,+0) + x f(+0,+2) + x f(+0,-2)\\ + 2x f(+1,+1) + 2x f(+1,-1) + 2x f(-1,+1) + 2x f(-1,-1)\\ +4 x f(+0,+0)\\ =\\ + x f(+2,+0) + x f(-2,+0) + x f(+0,+2) + x f(+0,-2)\\ + 2x f(+1,+1) + 2x f(+1,-1) + 2x f(-1,+1) + 2x f(-1,-1). $$

Comparando ahora los coeficientes del $f(\cdot,\cdot)$ términos obtenemos $$ +(14c-214) = +x \\ -(4c-20) = +2x $$

Resolver para $c,x$ tenemos $c=-51/4$ y $x=71/2$ . Usando esto terminamos la prueba con $$ I(-9c+48,-2c,c,-2c)\\ = \\ ( +(14c-214) f(+2,+0) +(14c-214) f(-2,+0)\\ -(4c-20) f(+1,+1) -(4c-20) f(+1,-1) -(4c-20) f(-1,+1) -(4c-20) f(-1,-1)\\ +(14c-214) f(+0,+2) +(14c-214) f(+0,-2)\\ +(26c-310) f(+0,+0))\\ =\\ -3 x f(+0,+0) +(26c-310) f(+0,+0))\\ =\\ -213/2 f(+0,+0) - 1283/2 f(+0,+0)\\ = -748 f(+0,+0). $$ Así, hemos escrito $f(0,0)$ como una combinación lineal de los términos de fuga conocidos, incluso sin utilizar la propiedad de fuga. $\Box$

Espero que no haya errores tipográficos en alguna parte.

Answer 3

Esbozar una solución ya que se requiere mucho tedio. Este método encuentra todas las soluciones $f$ ; tal vez haya un atajo para mostrar sólo $f(0, 0) = 0$ ?

1. Demuestre que si $f$ , $g$ son soluciones, entonces $f + g$ también es una solución. Fácil de la condición.
2. Demuestre que si $$f(3, 4) = f(4, 3) = f(3, 6) = f(6, 3) = 0,$$ entonces $f(x, y) = 0$ para todos $x$ , $y$ . Para demostrarlo, observe que $$f(3, 3) + f(5, 3) = 0$$ de $(x, y) = (4, 3)$ en la condición, y $$f(3, 3) + f(3, 5) = 0$$ de $(x, y) = (3, 4)$ en la condición. Así que $f(3, 5) = f(5, 3)$ . Entonces, como $$f(5, 3) + f(5, 5) = f(5, 4)$$ y $$f(3, 5) + f(5, 5) = f(4, 5),$$ tenemos $f(5, 4) = f(4, 5)$ . Finalmente, $$f(5, 4) + f(4, 5) = 0$$ de $(x, y) = (4, 4)$ en la condición, por lo que $$f(5, 4) = f(4, 5)=0.$$ Esta lógica es el paso más difícil que se necesita; mostrando todos los otros valores tienen que ser $0$ es largo, pero cada paso es repetir lo que acabamos de hacer o aplicar la condición original donde cuatro de los términos son $0$ .
3. Demuestre que si tratamos $f$ como una función en el plano, entonces $4 \times 6$ es una solución cuando se tesela infinitamente, alineada para que la esquina superior izquierda sea $(0, 0)$ . Aquí, $a$ es un real arbitrario. $$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & a & 0 & -a & -a \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -a & -a & 0 & a & a\end{matrix}$$
4. Demuestre que si $f(3, 4)$ , $f(4, 3)$ , $f(3, 6)$ , $f(6, 3)$ se fijan arbitrariamente en números reales, entonces existe una solución. Esto es fácil usando el paso 1 y varias transposiciones/traducciones del paso 3.
5. Utilizando los pasos 1 y 2, tenemos que si $f(3, 4)$ , $f(4, 3)$ , $f(3, 6)$ , $f(6, 3)$ se especifican, entonces hay como máximo una solución $f$ . Esto significa que el paso 4 describe todas las soluciones posibles. Todas estas soluciones satisfacen $f(2m, 2n) = 0$ para todos $m$ , $n$ Así que hemos terminado.