[Asumiré por la discusión en su pregunta que está feliz de aceptar como hecho que si $Z_i, i=1,2,\ldots,k$ son independientes e idénticamente distribuidos $N(0,1)$ variables aleatorias entonces $\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$ .]
Formalmente, el resultado que necesitas se deduce de Teorema de Cochran . (Aunque se puede mostrar de otras maneras)
De manera menos formal, considere que si conociéramos la media de la población y estimáramos la varianza en torno a ella (en lugar de en torno a la media de la muestra): $s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ entonces $s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$ , ( $Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ ) que será $\frac{1}{n}$ veces a $\chi^2_n$ variable aleatoria.
El hecho de que se utilice la media de la muestra, en lugar de la media de la población ( $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ ) hace que la suma de los cuadrados de las desviaciones sea menor, pero de tal manera que $\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$ (sobre lo cual, véase el teorema de Cochran). Es decir, en lugar de $ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$ ahora tenemos $(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$ .
