¿Pueden evitarse los campos de calibración si no se especifica un sistema de coordenadas?

Question

He estado estudiando la teoría del campo cuántico, y recientemente me he centrado en el campo escalar complejo $\phi(x_\mu)\in\mathbb{C}$ porque parece ser el campo más simple que puede acoplarse a una interacción como el electromagnetismo. En particular, me interesa ver cómo se manifiesta el 4-potencial como el campo gauge necesario para mantener el Lagrangiano invariante bajo un cambio de fase local $\phi\to e^{-i\alpha(x)}\phi$ .

Sin embargo, me cuesta entender por qué queremos esta invariancia gauge local en primer lugar. Una simetría global tiene sentido para mí porque una rotación uniforme de cada vector no tiene ningún significado físico. Sin embargo, la rotación del campo en una cantidad diferente en cada punto a través de una transformación local parece que produciría un campo completamente diferente. Tengo problemas para ver cómo esta transformación no cambia toda la física. He estado leyendo libros de texto como Baez, Henneaux & Teitelboim, y Naber, así que las cosas están empezando a tomar forma, pero quería preguntar para ver si estaba en el camino correcto.

Me gusta mucho La perspectiva de Terrance Tao sobre las transformaciones gauge como cambios de coordenadas . Habla de cómo "los sistemas de coordenadas identifican los objetos geométricos o combinatorios con los numéricos (o estándar)". Conectando con mi enfoque en el campo escalar complejo, escribe:

para convertir una posición en un círculo en un número (módulo de múltiplos de 2 \pi ), o viceversa, hay que elegir una orientación en ese círculo, junto con un origen en ese círculo. Un sistema de coordenadas de este tipo equipara el círculo original al círculo unitario estándar

Para mí, esto significa que para asignar un número complejo a cada punto debemos elegir una dirección de referencia dentro del plano para llamarlo "1"/la línea real positiva. Esta es una asignación arbitraria (suave) en cada punto del espaciotiempo que no debería tener ningún significado físico, por lo que la física, es decir, el Lagrangiano, debería ser invariante bajo una elección alternativa de dirección. Sin embargo, todas las elecciones de direcciones para la línea real positiva están relacionadas entre sí por una rotación en el plano complejo, por lo que la invariancia requerida es realmente la de un desplazamiento de fase local. Esto tendría sentido para mí. Pensar en poner un número complejo en cualquier lugar del espacio me parecía sencillo, pero no me había dado cuenta de los matices de cómo eso no es posible sin que se hagan elecciones implícitas que conlleven la necesidad de un indicador para compensar.

Dicho esto, ¿podría evitarse esto no especificando ningún sistema de coordenadas? Por ejemplo, en lugar de tener $\phi\in\mathbb{C}$ podríamos tener $\phi\in V$ para algún espacio vectorial bidimensional $V$ ? ¿O tal vez hay otra forma de tener invariancia de coordenadas? El primer enfoque parece problemático, ya que querremos hacer cálculos con el campo, por lo que habrá que describirlo con alguna variedad suave. Sin embargo, la geometría diferencial está pensada para ser libre de coordenadas y no introduce campos gauge para hacer cálculos.

Answer 1

No, la simetría gauge no se puede "evitar" no especificando las coordenadas. La analogía de Tao se supone que dice que así como estamos libre de elegir las coordenadas que queramos para un colector Estamos libre de elegir cualquier gauge (fijación) que queramos para nuestra teoría gauge . La fijación de un manómetro se parece a una elección de origen para un sistema de coordenadas, pero no es equivalente a ella.

Podemos hablar de una teoría gauge en un lenguaje totalmente libre de coordenadas, esto no cambia que sea una teoría gauge. Por ejemplo, en una teoría estándar de Yang-Mills sobre una variedad $M$ tienes algún grupo de calibre $G$ , algunos campos de la materia $\phi_i$ valorado en representaciones $(V_i,\rho_i)$ de $G$ y un campo gauge $A$ valorada en el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ de $G$ . Decir que es una teoría gauge significa que para cualquier función suave $g : M \to G$ con $g(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha(x)}$ para algunos $\alpha : M\to G$ las transformaciones \begin{align} \phi_i(x) & \mapsto \rho_i(g(x))\phi_i(x) \\ A(x) & \mapsto g(x)A(x)g^{-1}(x) + \mathrm{d}\alpha(x) \end{align} son una simetría de la acción de Yang-Mills y que dos conjuntos de $(\phi_i, A)$ relacionados por dicha transformación son físicamente indistinguibles. Aquí no hay elección de coordenadas.

Lo que Tao probablemente está pensando es que, en el $G$ -bienestar principal sobre $M$ asociada a dicha teoría gauge, la transformación gauge $g$ corresponde a "elegir" una nueva forma de identificar las fibras, que son abstractamente difeomorfas a $G$ pero para el que no existe ningún difeomorfismo "natural", con el grupo $G$ . Es decir, cuál era la identidad ("origen del sistema de coordenadas") en la fibra sobre $x$ antes de ahora es $g(x)$ y lo que era $g^{-1}(x)$ antes es ahora la identidad.

Pero no podemos abstenernos de "elegir coordenadas" en este sentido - no tuve que elegir una identificación de las fibras con $G$ ¡para escribir las transformaciones gauge de las teorías YM anteriores! La esencia de una teoría gauge es que nuestras variables dinámicas elegidas, es decir, las $\phi_i$ y $A$ son un sobrecompletar descripción del sistema físico que intentamos modelar, y la simetría gauge es la manifestación de esa redundancia: El sistema subyacente tiene menos grados de libertad que los que utilizamos en nuestro modelo, y la simetría gauge identifica distintos valores de las variables dinámicas en nuestro modelo que corresponden a los mismos estados físicos del sistema subyacente.

Por lo tanto, la simetría galvánica es no algo "deseable", es sólo algo forzado cuando describimos sistemas con conjuntos de variables tan sobredimensionados. Véase esta respuesta mía y esta respuesta mía para una discusión relacionada con el "por qué" queremos teorías gauge.