correspondencia para subálgebras universales de $U/\vartheta$

Question

Dejemos que $U$ sea un álgebra universal de tipo $T$ y denota $\mathrm{Con}(U)\!=\!\{\text{congruence relations on }U\}$ y $\mathrm{Sub}(U)\!=\!\{\text{subalgebras of }U\}$ . Deje " $\leq$ "significa "subálgebra".

Le site teorema de correspondencia (2.6.20, p. 54) dice: $$\mathrm{Con}(U/\vartheta)\!=\!\{\alpha/\vartheta\,;\, \alpha\!\in\!\mathrm{Con}(U),\vartheta\subseteq\!\alpha\},$$ donde $\alpha/\vartheta\!=\!\{(a/\vartheta,b/\vartheta)\!\in\!(U/\vartheta)^2;(a,b)\!\in\!\alpha\}$ y también $$(\alpha\wedge\beta)/\vartheta=(\alpha/\vartheta)\wedge(\beta/\vartheta)\;\;\text{ and }\;\; (\alpha\vee\beta)/\vartheta=(\alpha/\vartheta)\vee(\beta/\vartheta).$$ En particular, para un grupo $G$ y el anillo $R$ y el módulo $M$ y álgebra $A$ tenemos $$\{\text{normal subgroups of }G/H\}\!=\!\{H'/H;\,H'\!\unlhd\!G,H\!\subseteq\!H'\},$$ $$\{\text{ideals of }R/I\}\!=\!\{I'/I;\,I'\!\unlhd\!R,I\!\subseteq\!I'\},$$ $$\{\text{submodules of }M/N\}\!=\!\{N'/N;\,N'\!\leq\!M,N\!\subseteq\!N'\},$$ $$\{\text{algebra ideals of }A/I\}\!=\!\{I'/I;\,I'\!\unlhd\!A,I\!\subseteq\!I'\}.$$ Pero sabemos que también tenemos $$\{\text{subgroups of }G/H\}\!=\!\{G'/H;\,G'\!\leq\!G,H\!\subseteq\!G'\},$$ $$\{\text{subrings of }R/I\}\!=\!\{R'/I;\,R'\!\leq\!R,I\!\subseteq\!R'\},$$ $$\{\text{submodules of }M/N\}\!=\!\{M'/N;\,M'\!\leq\!M,N\!\subseteq\!M'\},$$ $$\{\text{subalgebras of }A/I\}\!=\!\{A'/I;\,A'\!\leq\!A,I\!\subseteq\!A'\}.$$

Pregunta: ¿Existe una buena correspondencia entre $\mathrm{Sub}(U/\vartheta)$ y $\mathrm{Sub}(U)$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $\mathbf{A}$ es una de las álgebras especiales (modulares de congruencia) que has mencionado, entonces cada congruencia $\theta \in \mathrm{Con}(\mathbf{A})$ está determinada de forma única por una única clase de congruencia, digamos, $a/\theta$ y cada $\theta$ tiene exactamente una clase que es una subálgebra de $\mathbf{A}$ . Por ejemplo, una relación de congruencia de un grupo está determinada únicamente por la clase de congruencia que contiene a 1 (que es un subgrupo normal).

Es por esta bonita propiedad que las subálgebras pueden ser comparadas con "congruencias", como en $H\leq G' \leq G$ , donde $H$ es un subgrupo normal (correspondiente a alguna congruencia de $G$ ). En general, este no es el caso.

Sin embargo, para cada subálgebra $\mathbf{B} \leq \mathbf{A}$ podemos definir $\pi_\theta (B) = \{b/\theta \mid b \in B\}$ y ésta es una subálgebra de $\mathbf{A}/\theta$ . (N.B. no podemos escribir $\mathbf{B}/\theta \leq \mathbf{A}/\theta$ ya que la expresión $\mathbf{B}/\theta$ no tiene sentido si no restringimos $\theta$ a $B^2$ .) Pero no obtenemos una correspondencia agradable como la de los ejemplos que has mencionado.

Como observación final, para evitar el escollo de pensar que un subgrupo normal es una relación de congruencia, tenga en cuenta que el conjunto de relaciones de congruencia es $\mathrm{Con}(\mathbf{A}) = \mathrm{Eq}(A) \cap \mathrm{Sub}(\mathbf{A}^2)$ , donde $\mathrm{Eq}(A)$ denota el conjunto de relaciones de equivalencia en $A$ . Así, cada relación de congruencia es, en particular, una subálgebra de $\mathbf{A}^2$ (no de $\mathbf{A}$ ).