Demostrar que $a+\frac{1}{b}>2$ o $b+\frac{1}{a}>2$ para dos números positivos estrictos

Question

Otro problema de la Olimpiada, que $x$ y $a$ y $b$ sean números positivos estrictamente reales.

1. Demostrar que $x$ + $\frac{1}{x}$$ > $$2$ (probado)
2. Entonces, concluye que $a$ + $\frac{1}{b}$$ > $$2$ o $b$ + $\frac{1}{a}$$ > $$2$

Para la segunda pregunta, sé que debo reemplazar $x$ con un número en función de $a$ y $b$ pero no lo encuentro.

si sustituimos $x$ por $ab$ todavía tenemos un problema.

$ab$ + $\frac{1}{ab}$$ +2> $$4$ no podemos concluir que $a$ + $\frac{1}{b}$$ > $$2$ o $b$ + $\frac{1}{a}$$ > $$2$

Answer 1

Sugerencia: Tenga en cuenta que $$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)=ab+\frac{1}{ab}+2.$$

Answer 2

Su primera declaración $x + \frac 1x > 2$ no es del todo correcto, tiene $$ x + \frac 1x \ge 2 $$ para $x > 0$ con igualdad exactamente para $x = 1$ .

Y como ejemplo $a=b=1$ muestra, sólo se puede concluir que $$ a+\frac{1}{b} \ge 2 \quad \text{ or } \quad b+\frac{1}{a} \ge 2 \, . $$ que es su pretensión con $\ge$ en lugar de $>$ .

Esto se desprende de (similar a la solución de André): $$ \left(a+\frac{1}{b}\right) + \left(b+\frac{1}{a}\right)= a + \frac 1a + b + \frac 1b \ge 2 + 2 = 4 $$ (con igualdad exactamente para $a=b=1$ ), por lo que al menos un término del lado izquierdo debe ser mayor o igual a $2$ .

Si $a$ y $b$ no son ambos iguales a uno, entonces se puede concluir que $$ a+\frac{1}{b} > 2 \quad \text{ or } \quad b+\frac{1}{a} > 2 \, . $$

Answer 3

Un poco diferente.

Si $a = b$ entonces $a + 1/b = b + 1/a =a + 1/a \ge 2$ .

Si $a > b$ entonces $a + 1/b > a + 1/a \ge 2$ .

Si $a < b$ entonces $b + 1/a > b + 1/b \ge 2$ .

(Si $a = b = 1$ entonces $a + 1/b = 2$ . De lo contrario, $a + 1/b > 2$ o $b + 1/a > 2$ o ambos).

Answer 4

Dado que ya ha resuelto el caso $a=b$ en la primera parte de la pregunta, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a<b$ .

Por lo tanto, tenemos $b+\dfrac{1}{a} > b + \dfrac{1}{b} \geq 2$ que da el resultado deseado.