Prueba $\{aX_n +bY_n\}$ es una Secuencia de Cauchy.

Question

Dejemos que $\{X_n\}$ y $\{Y_n\}$ sean secuencias de Cauchy y que $a$ y $b$ sean números reales no nulos. Demostrar que $\{aX_n$ + b $Y_n\}$ es una secuencia de Cauchy.

Hasta ahora tengo Desde $\{X_n\}$ es Cauchy entonces para cada $\epsilon>0$ existe un $N_1 \in \mathbb{N}$ s.t. cuando $m,n\geq N_1$ entonces $|X_n-X_M|< \frac{\epsilon}{ab}$ (?).

Desde $\{Y_n\}$ es Cauchy entonces para cada $\epsilon>0$ existe un $N_2 \in \mathbb{N}$ s.t. cuando $m,n\geq N_2$ entonces $|Y_n-Y_M|< \frac{\epsilon}{ab}$ (?). Elija $N=\max\{N_1,N_2\}$ por lo que para cada $\epsilon>0$ cuando $n,m\geq N$ entonces $|a(X_n+Y_n) - b(X_m+Y_m)|=|aX_n+aY_n-bX_n-bY_m|$ ¿pero falta algo?

Answer 1

Suponiendo que sus secuencias estén en $\mathbb{R}$ entonces se sabe que convergen (porque son Cauchy). Digamos que $x_{n}\to x$ y $y_{n}\to y$ . Entonces $ax_{n}+by_{n}\to ax+by$ . Las secuencias convergentes son Cauchy.

Si realmente quieres sacar a relucir el $\epsilon$ entonces se podría decir que como $x_n\to x$ hay un $N_x$ para que si $n\geq N_x$ entonces $|x_n - x|<\frac{\epsilon}{2|a|}$ Del mismo modo, existe un $N_y$ de modo que para $n\geq N_y$ tienes que $|y_n-y|<\frac{\epsilon}{2|b|}$ . Entonces, si $n\geq \max\{N_x, N_y\}$ se deduce que

\begin{align*} |ax_{n}+by_{yn}-(ax+by)| &\leq |ax_{n}-ax| + |by_{n}-by| \\ &= |a||x_n - x|+|b||y_n-y| \\ &<|a|\frac{\epsilon}{2|a|}+|b|\frac{\epsilon}{2|b|} \\ &=\epsilon \end{align*}

Answer 2

Hacerlo en dos fases.

$X_n$ Cauchy implica $aX_n$ es.

$X_n, Y_n$ Cauchy implica que $X_n+Y_n$ es .

Para el primero, dado $\epsilon >0,$ existe $N$ st $m,n>N$ implica $$ |X_n-X_m| < \epsilon/a. $$ Así que $$ |aX_n-aX_m| < \epsilon, $$ y hemos terminado.

Para el segundo, encuentre $M,N$ para que $$ |X_n-X_m| < \epsilon/2. $$ con $n,m > M,$ $$ |Y_n-Y_n| < \epsilon/2 $$ con $n,m> N.$

Entonces la condición se cumple a través de la desigualdad del triángulo para $n,m > \max(N,M).$

Answer 3

Dejemos que $M=\max\{|a|,|b|\}$ . Desde $(x_n)$ y $(y_n)$ son secuencias de Cauchy, para cada $\varepsilon>0$ existe $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ de manera que si $n,m>n_1,n_2$ , $$|x_n-x_m|<\dfrac{\varepsilon}{2M}\ \ \ \text{and}\ \ \ |y_n-y_m|<\dfrac{\varepsilon}{2M}$$ Dejemos que $N=\max\{n_1,n_2\}$ , entonces si $n,m>N$ , \begin{align*} |(ax_n+by_n)-(ax_m+by_m)|&=|a(x_n-x_m)+b(y_n-y_m)|\\ &\leqslant |a||x_n-x_m|+|b||y_n-y_m|\\ &\leqslant M(|x_n-x_m|+|y_n-y_m|) \\ &< M\left(\dfrac{\varepsilon}{2M}+\dfrac{\varepsilon}{2M}\right)=\varepsilon \end{align*} Así que $(ax_n+by_n)$ es Cauchy.