Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupo

Question

Dejar $G$ sea un grupo multiplicativo de análisis complejo no nulo.Considere el homomorfismo de grupo $\phi:G\rightarrow G$ definido por $\phi(z)=z^4$ .

1.Identificar el núcleo de $\phi=H$ .

2.Identificar $G/H$

Mi intento:

dejar $z\in \ker \phi$ entonces $\phi(z)=1\implies z^4=1$ dejar $z=re^{i\theta}\implies r^4\cos 4\theta =1;r^4\sin 4\theta =0$

entonces $r=1$ y $\tan 4\theta=0\implies 4\theta=0\implies \theta=\frac{n\pi}{2}$

¿Es correcto?

No puedo proceder en el segundo problema.

Alguna pista al respecto.

Answer 1

Tienes razón en el primer punto, sólo hay que terminar señalando que el núcleo tiene cuatro elementos, e intentar enumerarlos (esto resultará fácil).

En cuanto al segundo punto, recuerde el llamado teorema fundamental del álgebra: en particular, para cada número complejo $a$ , hay $z$ tal que $z^{4} = a$ .

Answer 2

Una pista:

1. Si $z \in \ker \phi$ entonces $\phi (z) = 1$ . Piensa en la cuarta raíz de la unidad.

2. Utilice el Teorema del isomorfismo .

Si $\xi$ es una raíz n-ésima de la unidad y $z ^n = a$ entonces $a\xi$ es una raíz de $z^n - a = 0$ .