Fórmula integral para $\int_{0}^{\infty}e^{-3\pi x^{2}}((\sinh \pi x)/(\sinh 3\pi x))\,dx$ por Ramanujan

Question

Hacia el final del artículo de G. N. Watson (uno de los coautores del famoso libro "A Course of Modern Analysis") "The Final Problem: An Account of the Mock Theta Functions" se menciona la siguiente fórmula de Ramanujan: $$\int_{0}^{\infty}e^{-3\pi x^{2}}\frac{\sinh \pi x}{\sinh 3\pi x}\,dx = \frac{1}{e^{2\pi/3}\sqrt{3}}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{e^{-2n(n + 1)\pi}}{(1 + e^{-\pi})^{2}(1 + e^{-3\pi})^{2}\dots(1 + e^{-(2n + 1)\pi})^{2}}\tag{1}$$ donde el término correspondiente a $n = 0$ en la suma de la derecha es $1$ .

¿Hay alguna forma de establecer esta fórmula integral exótica? O una referencia a cualquier prueba existente de $(1)$ sería de gran ayuda.

Answer 1

Me re-publicado este MO y obtuvo la respuesta deseada. La respuesta a la pregunta contenida en el mismo papel de G. N. Watson que se hace referencia en la pregunta.

La integral en la pregunta que siempre surge en las fórmulas de transformación para el uno de los varios simulacros de theta funciones definidas por Ramanujan. La serie en la ecuación de $(1)$ de la pregunta es el valor de una cierta burlarse de la theta de la función $\omega(q)$ en el punto de $q = -e^{-\pi}$.

Deje $q$ ser real con $|q| < 1$ y definimos el simulacro de la theta de la función $\omega(q)$ a través de la ecuación $$\omega(q) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{q^{2n(n + 1)}}{(1 - q)^{2}(1 - q^{3})^{2}\dots (1 - q^{2n + 1})^{2}}\tag{1}$$ so that $$\omega(-q) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{q^{2n(n + 1)}}{(1 + q)^{2}(1 + q^{3})^{2}\dots (1 + q^{2n + 1})^{2}}\tag{2}$$ and the question asks us to prove $$\int_{0}^{\infty}e^{-3\pi x^{2}}\frac{\sinh \pi x}{\sinh 3\pi x}\,dx = \frac{q^{2/3}}{\sqrt{3}}\omega(-q)\tag{3}$$ with $q = e^{-\pi}$.

Watson demuestra una transformación fórmula para $\omega(-q)$ en su trabajo, que utiliza la integral se menciona en la pregunta. Él muestra que si $\alpha, \beta$ son números reales positivos tales que $\alpha\beta = \pi^{2}$ $q = e^{-\alpha}, q_{1} = e^{-\beta}$ $$q^{2/3}\omega(-q) + \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}q_{1}^{2/3}\omega(-q_{1}) = 2\sqrt{\frac{3\alpha}{\pi}}I(\alpha)\tag{4}$$ where $$I(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-3\alpha x^{2}}\frac{\sinh \alpha x}{\sinh 3\alpha x}\,dx\tag{5}$$ Putting $\ alpha = \beta = \pi$ in $(4)$ and noting that $q = q_{1} = e^{-\pi}$ we get equation $(3)$. So the crux of the problem is to prove the transformation formula $(4)$ and this is a difficult task which Watson achieved via finding another suitable series representation for $\omega(q)$ and using residue calculus to convert the series for $\omega(q)$ en una integral de contorno. Ver Watson papel para obtener más detalles.