Cómo demostrar que el número
$ 1.23456\dots n$ ¿es un número irracional?
El número consiste, por supuesto, en números naturales en secuencia creciente.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Michael Hardy
Puntos
128804
Un número racional es un número de la forma $\dfrac n m$ donde $n$ y $m$ son números enteros. Una pregunta es: ¿cómo es la expansión decimal de un número racional? Consideremos un ejemplo concreto: $\dfrac n m = \dfrac{55}{148}$ . Para encontrar la expansión decimal, haz la división larga: $$ \begin{array}{ccccccccccccccc} & & & 0 & . & 3 & 7 & 1 & 6 & 2 & \ldots \\[12pt] 148 & ) & 5 & 5 & . & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\ & & 4 & 4 & & 4 \\[12pt] & & 1 & 0 & & 6 & 0 \\ & & 1 & 0 & & 3 & 6 \\[12pt] & & & & & 2 & 4 & 0 & & & & \longleftarrow & \text{remainder $= 24$} \\ & & & & & 1 & 4 & 8 \\[12pt] & & & & & & 9 & 2 & 0 \\ & & & & & & 8 & 8 & 8 \\[12pt] & & & & & & & 3 & 2 & 0 \\ & & & & & & & 2 & 9 & 6 \\[12pt] & & & & & & & & 2 & 4 & 0 & \longleftarrow & \text{remainder $= 24$} \end{array} $$ Una vez que obtenemos el mismo resto que teníamos en un paso anterior, volvemos a hacer el mismo problema: ¿qué es $240$ dividido por $148$ ? Y si tenemos $1.62$ la última vez, seguimos teniendo $1.62$ y seguimos obteniendo el mismo resto, $24$ y volvemos a empezar.
Así que la cosa se repite $0.37\ 162\ 162\ 162\ 162\ \ldots$ .
Pero, ¿cómo sabemos que en algún momento debemos obtener un resto que antes teníamos?
La respuesta es que si se divide por $148$ los únicos restos posibles son $0,1,2,3,\ldots,147$ . La lista de posibles remanentes no es eterna, así que en algún momento te encuentras con uno que has visto antes.
Por lo tanto, en un número racional, la expansión decimal en algún momento comienza a repetirse y sigue repitiéndose.
Eso no ocurre con la expansión decimal que propones, así que no puede ser la de ningún número racional.
