Un ejemplo de función $f$ para la que no existe una secuencia de funciones continuas $f_n$ convergiendo puntualmente a $f$ .

Question

Estoy tratando de encontrar una función $f$ para la que no existe una secuencia de funciones continuas $f_n$ convergiendo puntualmente a $f$ .

Me interesaría ver algunos ejemplos. Mi primera idea fue la clásica "función muy discontinua" que es $0$ en cada racional y $1$ en cada irracional, pero creo que es posible construir tal secuencia $f_n$ porque los racionales son contables. Así que estoy bastante atascado. Quizá tenga que encontrar un subconjunto de $\mathbb R$ que es denso, incontable y no contable? En cualquier caso, me costaría encontrar una prueba.

Answer 1

Si $f$ es el límite puntual de funciones continuas, entonces $f$ tiene que ser continua en una densa $G_\delta$ . (Para una prueba, véase Análisis real elemental por Thomson, Bruckner & Bruckner, página 587).

Por lo tanto, $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 1 & \text{if} & \text{$x\,\,$ rational}, \\ 0 & \text{if} & \text{$x\,\,$ irrational}, \end{array} \right. $$ no puede ser el límite puntual de funciones continuas, ya que $f$ es discontinua en todas partes.