Consideremos un fotón que se mueve en una órbita circular de radio $r = 3 \ GM/c^2$ en el espaciotiempo de Schwarzschild. ¿Cómo podemos encontrar el período de la órbita medido por un observador estacionario en el infinito? ¿Cómo podemos encontrar el período de la órbita medido por un observador estacionario situado en el mismo radio (es decir, en $r = 3\ GM/c^2$ ) es $T = 6 \pi \ GM/c^3$ . Estoy utilizando la tercera ley de Kepler pero no obtengo el resultado exacto.
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Rob Jeffries
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Hay que partir de la métrica de Schwarzschild $$ds^2 = -\left(1 -\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2 +\left(1 -\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2d\phi^2\ . $$ Para la luz en una geodésica nula, $ds^2=0$ y en una coordenada radial fija (NB, no un "radio"), $dr=0$ . Esto da una expresión que se puede integrar para dar el intervalo de tiempo $\Delta t$ medido en el tiempo de coordenadas de Schwarzschild - el tiempo medido por un observador en reposo en el infinito.
Pero el tiempo propio de un observador a un radio fijo de $3GM/c^2$ no está dada por $\Delta t$ . Escribir la métrica en términos de un intervalo de tiempo adecuado $d\tau$ con $dr=d\phi=0$ $$c^2d\tau^2 = \left(1 -\frac{r_s}{r}\right) c^2dt^2\ .$$
Esto le da una expresión para $\Delta \tau$ en términos de $\Delta t$ y el resultado que busca
user281096
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Consideremos un fotón que se mueve en una órbita circular de radio r=3 GM/c2 en el espaciotiempo de Schwarzschild. ¿Cómo podemos encontrar el período de la órbita medido por un observador estacionario en el infinito?
Para una métrica general estática con simetría esférica \begin{equation} ds^2=g_{tt} dt^2-g_{rr} dr^2-g_{\phi\phi} d\phi^2. \end{equation} La llamada frecuencia kepleriana se define como \begin{equation} \Omega\equiv\sqrt{\frac{g_{tt}’}{g_{\phi\phi}’}}, \end{equation} donde prime denota una derivada en $r$ .
Cómo podemos encontrar el período de la órbita medido por un observador estacionario situado en el mismo radio (es decir, en r=3 GM/c2 ) es T=6 GM/c3 . Estoy utilizando la 3ª ley de Kepler pero no obtengo el resultado exacto.
La velocidad orbital medida localmente se define como \begin{equation} v\equiv\sqrt{\frac{g_{\phi\phi}}{g_{tt}}\frac{g_{tt}’}{g_{\phi\phi}’}} \end{equation} Como la circunferencia de la órbita para el observador local y el lejano es la misma ( $2\pi r$ ), la velocidad angular local correspondiente es \begin{equation} \omega= \frac{v}{r} \end{equation} Puede encontrarlo en https://arxiv.org/abs/2110.05764 , véanse las ecuaciones (18) y (19). Otra ayuda útil para sus consideraciones podría ser https://arxiv.org/abs/0812.1806 .
